https://file.aiquickdraw.com/mathbot/file/1726319741334iokg4cze.jpg

Давай разберём каждую задачу по порядку:

1. **Неравенство:**
   \[
   \frac{12 + x}{2x - 10} > 1
   \]
   Решим это неравенство. Для начала переносим 1 в левую часть:
   \[
   \frac{12 + x}{2x - 10} - 1 > 0
   \]
   Приводим к общему знаменателю:
   \[
   \frac{12 + x - (2x - 10)}{2x - 10} > 0
   \]
   Преобразуем числитель:
   \[
   \frac{12 + x - 2x + 10}{2x - 10} > 0
   \]
   \[
   \frac{22 - x}{2x - 10} > 0
   \]
   Для решения данного дробного неравенства находим критические точки:
   - \(22 - x = 0 \Rightarrow x = 22\)
   - \(2x - 10 = 0 \Rightarrow x = 5\)

   Исследуем знаки на интервалах \((-∞, 5)\), \((5, 22)\), и \((22, +∞)\):
   - Для \(x < 5\), знаменатель и числитель положительны, значит дробь положительна.
   - Для \(5 < x < 22\), числитель положителен, знаменатель отрицателен, дробь отрицательна.
   - Для \(x > 22\), числитель и знаменатель отрицательны, дробь положительна.

   Ответ: \( \boxed{B \, (5; +∞)} \).

2. **Рациональность корня:**
   Дано:
   \[
   2\sqrt{3x - 4} = 6
   \]
   Разделим на 2:
   \[
   \sqrt{3x - 4} = 3
   \]
   Возведем обе стороны в квадрат:
   \[
   3x - 4 = 9
   \]
   Решаем:
   \[
   3x = 13 \Rightarrow x = \frac{13}{3}
   \]
   Корень рациональный, значит правильный ответ: \( \boxed{B \, \text{Рационал сан}} \).

3. **Уравнение:**
   \[
   \sqrt{x - 7} = 3 - \sqrt{x - 10}
   \]
   Возведем обе стороны в квадрат:
   \[
   x - 7 = (3 - \sqrt{x - 10})^2
   \]
   Раскроем скобки:
   \[
   x - 7 = 9 - 6\sqrt{x - 10} + (x - 10)
   \]
   Упростим:
   \[
   x - 7 = x - 1 - 6\sqrt{x - 10}
   \]
   Уберем одинаковые слагаемые и получим:
   \[
   -7 = -1 - 6\sqrt{x - 10}
   \]
   \[
   -6 = -6\sqrt{x - 10}
   \]
   \[
   \sqrt{x - 10} = 1
   \]
   Возведем в квадрат:
   \[
   x - 10 = 1 \Rightarrow x = 11
   \]
   Ответ: \( \boxed{A \, 11} \).

4. **Неравенство:**
   \[
   \sqrt{x + 12} > \sqrt{4 - x}
   \]
   Возведем обе стороны в квадрат:
   \[
   x + 12 > 4 - x
   \]
   Решаем неравенство:
   \[
   2x > -8 \Rightarrow x > -4
   \]
   Также нужно учитывать, что подкоренные выражения должны быть неотрицательны:
   \[
   x + 12 \geq 0 \Rightarrow x \geq -12
   \]
   и
   \[
   4 - x \geq 0 \Rightarrow x \leq 4
   \]
   Окончательное решение:
   \[
   -4 < x \leq 4
   \]
   Ответ: \( \boxed{A \, (-4; 4]} \).

5. **Наименьшее целое решение неравенства:**
   \[
   \sqrt{2x + 12} < x + 2
   \]
   Возведем обе стороны в квадрат:
   \[
   2x + 12 < (x + 2)^2
   \]
   Раскроем скобки:
   \[
   2x + 12 < x^2 + 4x + 4
   \]
   Перенесем все в одну сторону:
   \[
   0 < x^2 + 2x - 8
   \]
   Решим квадратное уравнение:
   \[
   x^2 + 2x - 8 = 0
   \]
   Дискриминант:
   \[
   D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36
   \]
   Корни:
   \[
   x_1 = \frac{-2 + 6}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{-2 - 6}{2} = -4
   \]
   Решаем неравенство методом интервалов. При \(x \in (-∞, -4) \cup (2, +∞)\), выражение положительно.
   Минимальный целый корень: \( \boxed{3} \).

6. **Уравнение:**
   \[
   \frac{1 + 2x}{5x - 9} = \frac{1}{\sqrt{2}}
   \]
   Умножим обе стороны на \((5x - 9)\sqrt{2}\):
   \[
   \sqrt{2}(1 + 2x) = 5x - 9
   \]
   Раскроем скобки и решим уравнение.

Solve the given inequalities and equations involving square roots and rational expressions.

This exercise involves solving inequalities and equations with square roots and rational expressions. It covers essential algebra concepts, such as solving square root equations, rational inequalities, and quadratic inequalities. Suitable for Grades 9-11.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation