Math Problem Statement

Помоги

Solve the given inequalities and equations involving square roots and rational expressions.

Solution

Давай разберём каждую задачу по порядку:

  1. Неравенство: 12+x2x10>1\frac{12 + x}{2x - 10} > 1 Решим это неравенство. Для начала переносим 1 в левую часть: 12+x2x101>0\frac{12 + x}{2x - 10} - 1 > 0 Приводим к общему знаменателю: 12+x(2x10)2x10>0\frac{12 + x - (2x - 10)}{2x - 10} > 0 Преобразуем числитель: 12+x2x+102x10>0\frac{12 + x - 2x + 10}{2x - 10} > 0 22x2x10>0\frac{22 - x}{2x - 10} > 0 Для решения данного дробного неравенства находим критические точки:

    • 22x=0x=2222 - x = 0 \Rightarrow x = 22
    • 2x10=0x=52x - 10 = 0 \Rightarrow x = 5

    Исследуем знаки на интервалах (,5)(-∞, 5), (5,22)(5, 22), и (22,+)(22, +∞):

    • Для x<5x < 5, знаменатель и числитель положительны, значит дробь положительна.
    • Для 5<x<225 < x < 22, числитель положителен, знаменатель отрицателен, дробь отрицательна.
    • Для x>22x > 22, числитель и знаменатель отрицательны, дробь положительна.

    Ответ: B(5;+)\boxed{B \, (5; +∞)}.

  2. Рациональность корня: Дано: 23x4=62\sqrt{3x - 4} = 6 Разделим на 2: 3x4=3\sqrt{3x - 4} = 3 Возведем обе стороны в квадрат: 3x4=93x - 4 = 9 Решаем: 3x=13x=1333x = 13 \Rightarrow x = \frac{13}{3} Корень рациональный, значит правильный ответ: BРационал сан\boxed{B \, \text{Рационал сан}}.

  3. Уравнение: x7=3x10\sqrt{x - 7} = 3 - \sqrt{x - 10} Возведем обе стороны в квадрат: x7=(3x10)2x - 7 = (3 - \sqrt{x - 10})^2 Раскроем скобки: x7=96x10+(x10)x - 7 = 9 - 6\sqrt{x - 10} + (x - 10) Упростим: x7=x16x10x - 7 = x - 1 - 6\sqrt{x - 10} Уберем одинаковые слагаемые и получим: 7=16x10-7 = -1 - 6\sqrt{x - 10} 6=6x10-6 = -6\sqrt{x - 10} x10=1\sqrt{x - 10} = 1 Возведем в квадрат: x10=1x=11x - 10 = 1 \Rightarrow x = 11 Ответ: A11\boxed{A \, 11}.

  4. Неравенство: x+12>4x\sqrt{x + 12} > \sqrt{4 - x} Возведем обе стороны в квадрат: x+12>4xx + 12 > 4 - x Решаем неравенство: 2x>8x>42x > -8 \Rightarrow x > -4 Также нужно учитывать, что подкоренные выражения должны быть неотрицательны: x+120x12x + 12 \geq 0 \Rightarrow x \geq -12 и 4x0x44 - x \geq 0 \Rightarrow x \leq 4 Окончательное решение: 4<x4-4 < x \leq 4 Ответ: A(4;4]\boxed{A \, (-4; 4]}.

  5. Наименьшее целое решение неравенства: 2x+12<x+2\sqrt{2x + 12} < x + 2 Возведем обе стороны в квадрат: 2x+12<(x+2)22x + 12 < (x + 2)^2 Раскроем скобки: 2x+12<x2+4x+42x + 12 < x^2 + 4x + 4 Перенесем все в одну сторону: 0<x2+2x80 < x^2 + 2x - 8 Решим квадратное уравнение: x2+2x8=0x^2 + 2x - 8 = 0 Дискриминант: D=2241(8)=4+32=36D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 Корни: x1=2+62=2,x2=262=4x_1 = \frac{-2 + 6}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{-2 - 6}{2} = -4 Решаем неравенство методом интервалов. При x(,4)(2,+)x \in (-∞, -4) \cup (2, +∞), выражение положительно. Минимальный целый корень: 3\boxed{3}.

  6. Уравнение: 1+2x5x9=12\frac{1 + 2x}{5x - 9} = \frac{1}{\sqrt{2}} Умножим обе стороны на (5x9)2(5x - 9)\sqrt{2}: 2(1+2x)=5x9\sqrt{2}(1 + 2x) = 5x - 9 Раскроем скобки и решим уравнение.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Algebra
Inequalities
Rational Expressions
Square Roots

Formulas

Solving square root equations: √x = a -> x = a^2
Quadratic inequalities
Rational inequality solutions

Theorems

Properties of Inequalities
Square Root Functions
Quadratic Discriminant

Suitable Grade Level

Grades 9-11