Давай разберём каждую задачу по порядку:

1. Неравенство: $\frac{12 + x}{2x - 10} > 1$ Решим это неравенство. Для начала переносим 1 в левую часть: $\frac{12 + x}{2x - 10} - 1 > 0$ Приводим к общему знаменателю: $\frac{12 + x - (2x - 10)}{2x - 10} > 0$ Преобразуем числитель: $\frac{12 + x - 2x + 10}{2x - 10} > 0$ $\frac{22 - x}{2x - 10} > 0$ Для решения данного дробного неравенства находим критические точки:

   • $22 - x = 0 \Rightarrow x = 22$
   • $2x - 10 = 0 \Rightarrow x = 5$

   Исследуем знаки на интервалах $(-∞, 5)$, $(5, 22)$, и $(22, +∞)$:

   • Для $x < 5$, знаменатель и числитель положительны, значит дробь положительна.
   • Для $5 < x < 22$, числитель положителен, знаменатель отрицателен, дробь отрицательна.
   • Для $x > 22$, числитель и знаменатель отрицательны, дробь положительна.

   Ответ: $\boxed{B \, (5; +∞)}$.

2. Рациональность корня: Дано: $2\sqrt{3x - 4} = 6$ Разделим на 2: $\sqrt{3x - 4} = 3$ Возведем обе стороны в квадрат: $3x - 4 = 9$ Решаем: $3x = 13 \Rightarrow x = \frac{13}{3}$ Корень рациональный, значит правильный ответ: $\boxed{B \, \text{Рационал сан}}$.

3. Уравнение: $\sqrt{x - 7} = 3 - \sqrt{x - 10}$ Возведем обе стороны в квадрат: $x - 7 = (3 - \sqrt{x - 10})^2$ Раскроем скобки: $x - 7 = 9 - 6\sqrt{x - 10} + (x - 10)$ Упростим: $x - 7 = x - 1 - 6\sqrt{x - 10}$ Уберем одинаковые слагаемые и получим: $-7 = -1 - 6\sqrt{x - 10}$ $-6 = -6\sqrt{x - 10}$ $\sqrt{x - 10} = 1$ Возведем в квадрат: $x - 10 = 1 \Rightarrow x = 11$ Ответ: $\boxed{A \, 11}$.

4. Неравенство: $\sqrt{x + 12} > \sqrt{4 - x}$ Возведем обе стороны в квадрат: $x + 12 > 4 - x$ Решаем неравенство: $2x > -8 \Rightarrow x > -4$ Также нужно учитывать, что подкоренные выражения должны быть неотрицательны: $x + 12 \geq 0 \Rightarrow x \geq -12$ и $4 - x \geq 0 \Rightarrow x \leq 4$ Окончательное решение: $-4 < x \leq 4$ Ответ: $\boxed{A \, (-4; 4]}$.

5. Наименьшее целое решение неравенства: $\sqrt{2x + 12} < x + 2$ Возведем обе стороны в квадрат: $2x + 12 < (x + 2)^2$ Раскроем скобки: $2x + 12 < x^2 + 4x + 4$ Перенесем все в одну сторону: $0 < x^2 + 2x - 8$ Решим квадратное уравнение: $x^2 + 2x - 8 = 0$ Дискриминант: $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$ Корни: $x_1 = \frac{-2 + 6}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{-2 - 6}{2} = -4$ Решаем неравенство методом интервалов. При $x \in (-∞, -4) \cup (2, +∞)$, выражение положительно. Минимальный целый корень: $\boxed{3}$.

6. Уравнение: $\frac{1 + 2x}{5x - 9} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ Умножим обе стороны на $(5x - 9)\sqrt{2}$: $\sqrt{2}(1 + 2x) = 5x - 9$ Раскроем скобки и решим уравнение.