Sin 2x = cos 3x найти решение и пояснить

Для решения уравнения \( \sin(2x) = \cos(3x) \) воспользуемся следующим шагами:

### Шаг 1: Применение основной тригонометрической формулы
Мы знаем, что:
\[
\cos(3x) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - 3x\right)
\]
Таким образом, уравнение примет вид:
\[
\sin(2x) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - 3x\right)
\]

### Шаг 2: Использование свойства функции синуса
Равенство двух синусов выполняется, когда:
\[
2x = \frac{\pi}{2} - 3x + 2\pi n \quad \text{или} \quad 2x = \pi - \left(\frac{\pi}{2} - 3x\right) + 2\pi n
\]
где \( n \in \mathbb{Z} \) — любое целое число.

### Шаг 3: Решение первого уравнения
Рассмотрим первое уравнение:
\[
2x = \frac{\pi}{2} - 3x + 2\pi n
\]
Переносим \( 3x \) влево:
\[
2x + 3x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n
\]
\[
5x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n
\]
Теперь выражаем \( x \):
\[
x = \frac{\pi}{10} + \frac{2\pi n}{5}
\]

### Шаг 4: Решение второго уравнения
Теперь решим второе уравнение:
\[
2x = \pi - \left(\frac{\pi}{2} - 3x\right) + 2\pi n
\]
Упрощаем правую часть:
\[
2x = \pi - \frac{\pi}{2} + 3x + 2\pi n
\]
\[
2x = \frac{\pi}{2} + 3x + 2\pi n
\]
Теперь переносим \( 3x \) влево:
\[
2x - 3x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n
\]
\[
-x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n
\]
Теперь выражаем \( x \):
\[
x = -\frac{\pi}{2} - 2\pi n
\]

### Общий ответ
Итак, общее решение уравнения \( \sin(2x) = \cos(3x) \) имеет вид:
\[
x = \frac{\pi}{10} + \frac{2\pi n}{5} \quad \text{или} \quad x = -\frac{\pi}{2} - 2\pi n
\]
где \( n \in \mathbb{Z} \) — целое число.

Могу пояснить какой-либо шаг подробнее? 

### Дополнительные вопросы для лучшего понимания:
1. Что такое основное тригонометрическое тождество?
2. Почему в решении появляются параметры \( n \)?
3. Как работают свойства синуса при решении уравнений?
4. Как можно проверить правильность решения с помощью графиков?
5. Каковы другие возможные методы решения тригонометрических уравнений?

### Совет:
Всегда проверяйте решения тригонометрических уравнений на графиках функций, чтобы убедиться, что найденные корни верны для всех интервалов.

Learn how to solve the trigonometric equation Sin 2x = Cos 3x step by step. This solution involves key trigonometric concepts such as identities for sine and cosine and properties of trigonometric equations. Suitable for high school students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation