¡Claro! Resolveré las inecuaciones que aparecen en la imagen. Aquí está el desglose:

1. $x^2 + 3x - 4 \geq 0$

1. Factorizamos:
   El trinomio $x^2 + 3x - 4$ se puede factorizar:
   $x^2 + 3x - 4 = (x + 4)(x - 1)$

2. Determinamos las raíces:
   Igualamos a cero para encontrar los puntos críticos:
   $x + 4 = 0 \implies x = -4, \quad x - 1 = 0 \implies x = 1$

3. Intervalos y análisis de signos:
   Dividimos la recta en intervalos según las raíces:
   $(-\infty, -4), \quad (-4, 1), \quad (1, \infty)$ Probamos valores de $x$ en cada intervalo:

   • Para $x \in (-\infty, -4)$, elegimos $x = -5$: $(x+4)(x-1) = (-1)(-6) = 6 > 0$
   • Para $x \in (-4, 1)$, elegimos $x = 0$: $(x+4)(x-1) = (4)(-1) = -4 < 0$
   • Para $x \in (1, \infty)$, elegimos $x = 2$: $(x+4)(x-1) = (6)(1) = 6 > 0$

4. Solución:
   $x^2 + 3x - 4 \geq 0 \implies x \in (-\infty, -4] \cup [1, \infty)$

2. $x^2 + 6x + 9 > 0$

1. Forma factorizada:
   El trinomio es un cuadrado perfecto:
   $x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$

2. Raíz doble:
   Igualamos a cero para encontrar las raíces:
   $(x + 3)^2 = 0 \implies x = -3$

3. Intervalos y análisis de signos:
   Dividimos la recta en intervalos:
   $(-\infty, -3), \quad (-3, \infty)$

   • Para $x \in (-\infty, -3)$, elegimos $x = -4$: $(x+3)^2 = (-1)^2 = 1 > 0$
   • Para $x \in (-3, \infty)$, elegimos $x = 0$: $(x+3)^2 = (3)^2 = 9 > 0$

4. Solución:
   La desigualdad es estricta $>$, por lo que $x = -3$ no pertenece a la solución:
   $x^2 + 6x + 9 > 0 \implies x \in (-\infty, -3) \cup (-3, \infty) \implies x \in \mathbb{R} \setminus \{-3\}$

¿Quieres que resuelva también las inecuaciones del ejercicio 2? ¡Hazmelo saber! 😊

5 Preguntas Relacionadas:

1. ¿Qué diferencia hay entre una inecuación estricta ($>$) y una inclusiva ($\geq$)?
2. ¿Cómo identificar rápidamente las raíces de un trinomio cuadrático?
3. ¿Qué es una raíz doble y cómo afecta a la solución de una inecuación?
4. ¿Por qué se analizan intervalos en la resolución de inecuaciones cuadráticas?
5. ¿Cómo influye la factorización en el análisis de signos de una inecuación?

Tip:

Siempre analiza los puntos críticos primero al resolver inecuaciones, ya que dividen la recta en regiones donde el signo del polinomio cambia.