Untuk menentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $x + 3x^2 - 4 \geq 0$, kita dapat mengikuti langkah-langkah berikut:

1. Tulis kembali pertidaksamaan: $3x^2 + x - 4 \geq 0$

2. Cari akar-akar persamaan kuadrat: Kita gunakan rumus kuadrat: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ di mana $a = 3$, $b = 1$, dan $c = -4$.

   Hitung diskriminan: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 1 + 48 = 49$

   Karena $D > 0$, ada dua akar real: $x = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 \pm 7}{6}$

   Jadi, $x_1 = \frac{6}{6} = 1 \quad \text{dan} \quad x_2 = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}$

3. Gambarkan garis bilangan: Akar-akar $x = -\frac{4}{3}$ dan $x = 1$ membagi garis bilangan menjadi tiga interval:

   • $(-\infty, -\frac{4}{3})$
   • $(-\frac{4}{3}, 1)$
   • $(1, \infty)$

4. Uji tanda di setiap interval:

   • Interval $(-\infty, -\frac{4}{3})$: Misalnya $x = -2$ $3(-2)^2 + (-2) - 4 = 12 - 2 - 4 = 6 \quad (\text{positif})$
   • Interval $(-\frac{4}{3}, 1)$: Misalnya $x = 0$ $3(0)^2 + 0 - 4 = -4 \quad (\text{negatif})$
   • Interval $(1, \infty)$: Misalnya $x = 2$ $3(2)^2 + 2 - 4 = 12 + 2 - 4 = 10 \quad (\text{positif})$

5. Tentukan himpunan penyelesaian: Pertidaksamaan $3x^2 + x - 4 \geq 0$ bernilai positif pada interval $(-\infty, -\frac{4}{3}]$ dan $[1, \infty)$.

   Jadi, himpunan penyelesaian adalah: $x \in (-\infty, -\frac{4}{3}] \cup [1, \infty)$

Jika ada yang ingin ditanyakan lebih lanjut atau jika ingin penjelasan detail, silakan! Berikut adalah beberapa pertanyaan yang dapat memperdalam pemahaman Anda:

1. Apa saja langkah-langkah untuk menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat?
2. Mengapa diskriminan penting dalam menentukan jumlah akar?
3. Bagaimana cara menggambar garis bilangan untuk pertidaksamaan?
4. Apa yang terjadi jika diskriminan bernilai negatif?
5. Bagaimana jika terdapat koefisien negatif dalam pertidaksamaan kuadrat?

Tip: Selalu periksa tanda pada interval setelah menemukan akar untuk memastikan hasilnya benar.