Diberikan fungsi $f(x) = x^2 + x - 6$ dengan domain $\{x \mid -5 < x < 4, x \in \mathbb{R}\}$. Berikut penjelasan untuk menyelesaikan soal ini:

a. Hasil Pemetaan Fungsi dan Rentangnya

Fungsi $f(x) = x^2 + x - 6$ adalah fungsi kuadrat. Untuk menentukan rentang (range) dari fungsi ini, kita akan:

1. Menentukan bentuk parabola: Koefisien dari $x^2$ adalah positif, maka parabola ini terbuka ke atas.

2. Menentukan titik ekstrem (titik minimum): Karena ini adalah parabola, kita cari titik puncak dengan rumus:

   $x_{\text{puncak}} = \frac{-b}{2a} = \frac{-1}{2(1)} = -\frac{1}{2}$

   Substitusi $x_{\text{puncak}} = -\frac{1}{2}$ ke dalam fungsi untuk mencari nilai minimum (nilai di titik puncak):

   $f\left( -\frac{1}{2} \right) = \left( -\frac{1}{2} \right)^2 + \left( -\frac{1}{2} \right) - 6 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} - 6 = -\frac{25}{4}$

   Jadi, nilai minimum fungsi adalah $-\frac{25}{4}$.

3. Menentukan rentang (range): Karena parabola terbuka ke atas dan nilai minimum terjadi di $f\left( -\frac{1}{2} \right) = -\frac{25}{4}$, maka rentang fungsi adalah:

   $\text{Range} = \left[ -\frac{25}{4}, f(4) \right)$

   Di mana $f(4)$ adalah nilai fungsi pada batas domain $x = 4$:

   $f(4) = 4^2 + 4 - 6 = 16 + 4 - 6 = 14$

   Jadi, rentang fungsi adalah:

   $\text{Range} = \left[ -\frac{25}{4}, 14 \right)$

b. Pembuat Nol Fungsi

Untuk mencari pembuat nol dari fungsi $f(x) = 0$, kita perlu menyelesaikan persamaan kuadrat:

$x^2 + x - 6 = 0$

Faktorkan persamaan kuadrat tersebut:

$(x - 2)(x + 3) = 0$

Jadi, pembuat nol fungsi adalah:

$x = 2 \quad \text{atau} \quad x = -3$

Dengan demikian, solusi dari $f(x) = 0$ adalah $x = 2$ dan $x = -3$.

Kesimpulan:

1. Rentang fungsi adalah $\left[ -\frac{25}{4}, 14 \right)$.
2. Pembuat nol fungsi adalah $x = 2$ dan $x = -3$.

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau ada pertanyaan?

Berikut 5 pertanyaan terkait:

1. Bagaimana cara menentukan titik potong dengan sumbu $y$ pada fungsi kuadrat?
2. Apa peran dari diskriminan dalam menentukan jumlah pembuat nol suatu fungsi kuadrat?
3. Bagaimana menentukan sifat simetri dari suatu fungsi kuadrat?
4. Bagaimana cara menggambarkan grafik fungsi $f(x) = x^2 + x - 6$?
5. Apa perbedaan antara domain dan range dalam konteks fungsi?

Tip: Dalam persamaan kuadrat, metode pemfaktoran bisa lebih cepat jika koefisien mudah difaktorkan. Jika tidak, gunakan rumus kuadrat!