Mari kita uraikan soal ini dengan jelas:

Diketahui:

• Fungsi $f(x) = x^2 + x - 6$
• Domain: $-5 < x < 4, \, x \in \mathbb{R}$

---

a. Hasil Pemetaan Fungsi dan Range

Untuk mendapatkan range, kita perlu mencari titik ekstrem (maksimum atau minimum) dan juga menganalisis perilaku fungsi di ujung-ujung interval domain. Fungsi $f(x) = x^2 + x - 6$ adalah fungsi kuadrat, sehingga berbentuk parabola dengan arah terbuka ke atas (karena koefisien $x^2$ positif).

Langkah 1: Temukan Titik Puncak (Ekstremum)

Titik puncak $x$ dapat dicari menggunakan rumus: $x = -\frac{b}{2a}$ dengan $a = 1$ dan $b = 1$. Maka: $x = -\frac{1}{2(1)} = -\frac{1}{2}$ Nilai ini berada dalam domain $-5 < x < 4$.

Langkah 2: Hitung Nilai Fungsi di Titik Ekstremum

Substitusikan $x = -\frac{1}{2}$ ke dalam fungsi: $f\left( -\frac{1}{2} \right) = \left( -\frac{1}{2} \right)^2 + \left( -\frac{1}{2} \right) - 6$ $f\left( -\frac{1}{2} \right) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} - 6 = -\frac{25}{4}$

Jadi, titik ekstremum berada di $\left( -\frac{1}{2}, -\frac{25}{4} \right)$.

Langkah 3: Hitung Nilai Fungsi di Batas Domain

• Untuk $x = -5$: $f(-5) = (-5)^2 + (-5) - 6 = 25 - 5 - 6 = 14$
• Untuk $x = 4$: $f(4) = 4^2 + 4 - 6 = 16 + 4 - 6 = 14$

Range Fungsi:

Dari hasil di atas, kita tahu bahwa nilai minimum fungsi terjadi di $f\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{25}{4}$, dan nilai maksimum terjadi di ujung-ujung domain dengan nilai 14.

Maka, range fungsi adalah: $\text{Range} = \left( -\frac{25}{4}, 14 \right)$

---

b. Pembuat Nol Fungsi (Akar-Akar Fungsi)

Kita cari nilai $x$ yang membuat $f(x) = 0$. Ini berarti kita harus menyelesaikan: $x^2 + x - 6 = 0$

Langkah 1: Faktorisasi Persamaan Kuadrat

$x^2 + x - 6 = (x - 2)(x + 3) = 0$

Langkah 2: Temukan Akar-Akarnya

$x - 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2$ $x + 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -3$

Jadi, pembuat nol fungsi adalah $x = 2$ dan $x = -3$.

---

Ringkasan Jawaban:

1. Hasil Pemetaan dan Range:
   • Range: $\left( -\frac{25}{4}, 14 \right)$
2. Pembuat Nol Fungsi:
   • Akar-akar: $x = 2$ dan $x = -3$

---

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut?
Berikut 5 pertanyaan terkait untuk memperdalam:

1. Bagaimana cara menentukan titik ekstrem pada fungsi polinomial tingkat lebih tinggi?
2. Apa yang terjadi jika domain fungsi diubah?
3. Bagaimana menentukan interval naik dan turun untuk fungsi kuadrat?
4. Apa perbedaan antara akar fungsi dan nilai ekstrem?
5. Bagaimana cara menggambarkan grafik fungsi kuadrat secara manual?

Tip: Saat mencari akar-akar fungsi kuadrat, gunakan faktorisasi sederhana jika memungkinkan sebelum mencoba rumus kuadrat.