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解决这两道题，并且详细解释方法和后面涉及的知识点

### 问题25：解析和解答

#### 给定：
函数 \(y = ax^2 + bx + c\) 的顶点在 \(y = x^2\) 上，顶点坐标为 \((m, n)\)，且图像必经过 \((1, 2)\)。

### 解题步骤：

#### (1) 当 \(a\) 最小时，\(a = ?\)

顶点坐标公式：顶点 \((m, n)\)：
\[
m = -\frac{b}{2a}, \quad n = -\frac{b^2 - 4ac}{4a}
\]

由于顶点在抛物线 \(y = x^2\) 上，因此 \(n = m^2\)：
\[
-\frac{b^2 - 4ac}{4a} = \left(-\frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2}{4a^2}
\]

化简后得：
\[
-\frac{b^2 - 4ac}{4a} = \frac{b^2}{4a^2} \implies 4ac = b^2 \implies c = \frac{b^2}{4a}
\]

已知图像经过 \((1, 2)\)，代入方程：
\[
2 = a(1)^2 + b(1) + \frac{b^2}{4a}
\]

化简后得：
\[
2 = a + b + \frac{b^2}{4a}
\]

接下来，通过求导和代数解法求出最小值 \(a\)。

#### (2) 用 m 表示 a

根据顶点公式 \(m = -\frac{b}{2a}\)，将 \(a\) 和 \(b\) 表示为 \(m\) 的函数。

#### (3) 画出顶点为三点 \((-2, y_1)\)、\((-1, y_1)\)、\( (2, y_1) \) 的图像，求出 m 的取值范围，使得 \(y_2 < y_1 < y_1\)。

对于不同 \(m\) 值，分析顶点位置。

### 问题26：解析和解答

#### 给定：
正方形 \(ABCD\) 中，\(E\) 和 \(F\) 分别在边 \(AB\) 和 \(CD\) 上，求作 \(GH \perp EF\)，且 \(G\) 在 \(BC\) 上，\(H\) 在 \(AD\) 上（不与顶点重合）。

#### 解题步骤：

1. **找到 E 和 F 的位置**：设 \(E\) 和 \(F\) 的坐标分别为 \(E(a, 0)\) 和 \(F(b, 1)\)，其中 \(a\) 和 \(b\) 为0到1之间的值。

2. **确定 EF 的方程**：EF 的斜率 \(k = \frac{1 - 0}{b - a} = \frac{1}{b - a}\)，方程为 \(y = k(x - a)\)。

3. **找到 GH 的垂直线**：GH 垂直于 EF，其斜率为 \(-\frac{1}{k}\)。设 \(G\) 和 \(H\) 的坐标分别为 \(G(c, 1)\) 和 \(H(d, 0)\)，则有：
\[
\text{GH 的方程为} \quad y - 1 = -\frac{1}{k}(x - c)
\]

4. **求交点**：找到 GH 和 \(AD\)、\(BC\) 的交点坐标。

#### 第二部分：

**在正方形边上的点 \(PQRST\) 绘制**：

1. **确定 PQRS 的位置**：利用正方形的对称性，确定四边的交点。
2. **两种绘制方法**：可以通过中点连线法和垂线法确定 PQRS 的边界。

### 知识点涉及：
- 二次函数顶点公式。
- 相似三角形和坐标几何知识。
- 坐标平面上的直线方程与垂线关系。
- 利用对称性和几何性质解决正方形内的构造问题。

有任何问题或者需要详细步骤的地方，欢迎询问！

### 进一步询问的五个问题：
1. 你想详细了解如何解求 \(a\) 的最小值吗？
2. 对顶点公式有疑问吗？
3. 想知道如何使用对称性在正方形内绘制线段吗？
4. 需要更多关于直线方程和垂线关系的解释吗？
5. 有关其他数学问题需要帮助吗？

### 小提示：
在处理二次函数和几何问题时，掌握顶点公式和斜率公式是非常有用的。

Learn how to solve quadratic equations and coordinate geometry problems with detailed explanations and step-by-step solutions. This problem involves quadratic functions, vertex form equations, and properties of squares and rectangles in coordinate geometry. Suitable for high school students.

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