问题25：解析和解答

给定：

函数 $y = ax^2 + bx + c$ 的顶点在 $y = x^2$ 上，顶点坐标为 $(m, n)$，且图像必经过 $(1, 2)$。

解题步骤：

(1) 当 $a$ 最小时，$a = ?$

顶点坐标公式：顶点 $(m, n)$： $m = -\frac{b}{2a}, \quad n = -\frac{b^2 - 4ac}{4a}$

由于顶点在抛物线 $y = x^2$ 上，因此 $n = m^2$： $-\frac{b^2 - 4ac}{4a} = \left(-\frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2}{4a^2}$

化简后得： $-\frac{b^2 - 4ac}{4a} = \frac{b^2}{4a^2} \implies 4ac = b^2 \implies c = \frac{b^2}{4a}$

已知图像经过 $(1, 2)$，代入方程： $2 = a(1)^2 + b(1) + \frac{b^2}{4a}$

化简后得： $2 = a + b + \frac{b^2}{4a}$

接下来，通过求导和代数解法求出最小值 $a$。

(2) 用 m 表示 a

根据顶点公式 $m = -\frac{b}{2a}$，将 $a$ 和 $b$ 表示为 $m$ 的函数。

(3) 画出顶点为三点 $(-2, y_1)$、$(-1, y_1)$、$(2, y_1)$ 的图像，求出 m 的取值范围，使得 $y_2 < y_1 < y_1$。

对于不同 $m$ 值，分析顶点位置。

问题26：解析和解答

给定：

正方形 $ABCD$ 中，$E$ 和 $F$ 分别在边 $AB$ 和 $CD$ 上，求作 $GH \perp EF$，且 $G$ 在 $BC$ 上，$H$ 在 $AD$ 上（不与顶点重合）。

解题步骤：

1. 找到 E 和 F 的位置：设 $E$ 和 $F$ 的坐标分别为 $E(a, 0)$ 和 $F(b, 1)$，其中 $a$ 和 $b$ 为0到1之间的值。

2. 确定 EF 的方程：EF 的斜率 $k = \frac{1 - 0}{b - a} = \frac{1}{b - a}$，方程为 $y = k(x - a)$。

3. 找到 GH 的垂直线：GH 垂直于 EF，其斜率为 $-\frac{1}{k}$。设 $G$ 和 $H$ 的坐标分别为 $G(c, 1)$ 和 $H(d, 0)$，则有： $\text{GH 的方程为} \quad y - 1 = -\frac{1}{k}(x - c)$

4. 求交点：找到 GH 和 $AD$、$BC$ 的交点坐标。

第二部分：

在正方形边上的点 $PQRST$ 绘制：

1. 确定 PQRS 的位置：利用正方形的对称性，确定四边的交点。
2. 两种绘制方法：可以通过中点连线法和垂线法确定 PQRS 的边界。

知识点涉及：

• 二次函数顶点公式。
• 相似三角形和坐标几何知识。
• 坐标平面上的直线方程与垂线关系。
• 利用对称性和几何性质解决正方形内的构造问题。

有任何问题或者需要详细步骤的地方，欢迎询问！

进一步询问的五个问题：

1. 你想详细了解如何解求 $a$ 的最小值吗？
2. 对顶点公式有疑问吗？
3. 想知道如何使用对称性在正方形内绘制线段吗？
4. 需要更多关于直线方程和垂线关系的解释吗？
5. 有关其他数学问题需要帮助吗？

小提示：

在处理二次函数和几何问题时，掌握顶点公式和斜率公式是非常有用的。