לפניכם גרפים של פונקציות: 2y=-4, y+2x=2, y=4x+2
א. מצאו את שטח המשולש ABC.
ב. מצאו את משוואת הישר העובר דרך הנקודה C ומקביל לישר AB
ג. עבור איזה ערך של *p* הישר y=(*p*+1)x+8 מקביל לישר AC? רשמו את משוואת הישר.
ד. מצאו את נקודת החיתוך של שני הישרים שמצאתם בשני הסעיפים הקודמים

נפתור את כל הסעיפים אחד אחד:

### סעיף א': מציאת שטח המשולש ABC
קודם כל, נמצא את נקודות החיתוך של הפונקציות הנתונות, מכיוון שנקודות אלה הן קודקודי המשולש ABC.

1. **מציאת נקודת החיתוך של** \( 2y = -4 \) **עם** \( y + 2x = 2 \):

   - \( 2y = -4 \) ⇒ \( y = -2 \)
   - נציב את \( y = -2 \) במשוואת \( y + 2x = 2 \):
     \[
     -2 + 2x = 2 \quad \Rightarrow \quad 2x = 4 \quad \Rightarrow \quad x = 2
     \]
   - נקודת החיתוך היא \( A(2, -2) \).

2. **מציאת נקודת החיתוך של** \( y + 2x = 2 \) **עם** \( y = 4x + 2 \):

   - נציב את \( y = 4x + 2 \) במשוואת \( y + 2x = 2 \):
     \[
     4x + 2 + 2x = 2 \quad \Rightarrow \quad 6x + 2 = 2 \quad \Rightarrow \quad 6x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0
     \]
   - נציב את \( x = 0 \) במשוואת \( y = 4x + 2 \) ונקבל \( y = 2 \).
   - נקודת החיתוך היא \( B(0, 2) \).

3. **מציאת נקודת החיתוך של** \( y = 4x + 2 \) **עם** \( 2y = -4 \):

   - \( 2y = -4 \) ⇒ \( y = -2 \)
   - נציב \( y = -2 \) במשוואת \( y = 4x + 2 \):
     \[
     -2 = 4x + 2 \quad \Rightarrow \quad 4x = -4 \quad \Rightarrow \quad x = -1
     \]
   - נקודת החיתוך היא \( C(-1, -2) \).

כעת יש לנו את קודקודי המשולש: \( A(2, -2) \), \( B(0, 2) \), \( C(-1, -2) \).

כדי לחשב את שטח המשולש נשתמש בנוסחה:
\[
\text{שטח המשולש} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right|
\]
נציב את הנקודות ונחשב:
\[
\text{שטח} = \frac{1}{2} \left| 2(2 - (-2)) + 0((-2) - (-2)) + (-1)((-2) - 2) \right|
\]
\[
= \frac{1}{2} \left| 2(4) + (-1)(-4) \right| = \frac{1}{2} \left| 8 + 4 \right| = \frac{1}{2} \times 12 = 6
\]

**שטח המשולש ABC הוא 6 יחידות ריבועיות.**

### סעיף ב': מציאת משוואת הישר העובר דרך הנקודה C ומקביל לישר AB

כדי למצוא את משוואת הישר המבוקשת, נתחיל בלמצוא את שיפוע הישר \( AB \).

השיפוע של הישר \( AB \) הוא:
\[
m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{2 - (-2)}{0 - 2} = \frac{4}{-2} = -2
\]
מכיוון שהישר המבוקש מקביל ל-\( AB \), שיפועו יהיה גם הוא \( -2 \).

כעת נמצא את משוואת הישר \( y = mx + b \) העובר דרך \( C(-1, -2) \) עם שיפוע \( m = -2 \):
\[
y + 2 = -2(x + 1)
\]
\[
y + 2 = -2x - 2
\]
\[
y = -2x - 4
\]
**משוואת הישר המבוקשת היא \( y = -2x - 4 \).**

### סעיף ג': עבור איזה ערך של *p* הישר \( y = (p + 1)x + 8 \) מקביל לישר AC?

השיפוע של הישר \( y = -2x - 4 \) הוא \( m = -2 \). 

כדי שהישר \( y = (p + 1)x + 8 \) יהיה מקביל ל-\( AC \), שיפועו צריך להיות \( -2 \):
\[
p + 1 = -2 \quad \Rightarrow \quad p = -3
\]
**לכן עבור \( p = -3 \), משוואת הישר היא \( y = -2x + 8 \).**

### סעיף ד': מציאת נקודת החיתוך של שני הישרים שמצאנו בשני הסעיפים הקודמים

הישרים הם:
- \( y = -2x - 4 \) (הישר בסעיף ב')
- \( y = -2x + 8 \) (הישר בסעיף ג')

נפתור את המשוואה על ידי השוואת שני הישרים:
\[
-2x - 4 = -2x + 8
\]
נשים לב שהמשוואה אינה אפשרית, כלומר הישרים אינם נפגשים, מה שמאשר שהם מקבילים (אין נקודת חיתוך). **אין נקודת חיתוך בין שני הישרים הללו.**

### שאלות קשורות
1. כיצד ניתן לבדוק אם שני ישרים מקבילים?
2. כיצד לחשב את משוואת ישר שעובר דרך שתי נקודות?
3. מהי החשיבות של שיפוע הישר במתמטיקה?
4. כיצד לחשב שטח משולש נתון על ידי שלוש נקודות במישור?
5. איך ניתן למצוא את נקודת החיתוך של שני ישרים?

**טיפ**: כאשר שני ישרים מקבילים, השיפוע שלהם תמיד יהיה זהה!

Explore solutions to coordinate geometry problems involving linear equations and parallel lines. Learn how to find the area of triangle ABC, the equation of a line passing through point C parallel to line AB, and more. Suitable for Grades 9-10 students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation