Diberikan polinom berderjaat 4

P open parentheses x close parentheses equals x to the power of 4 plus a x cubed plus b x squared plus c x plus d,

di mana a, b, c, d  bilangan riil. Jika sisa pembagian P(x) oleh (x minus 3), (x minus 6), (x minus 4), dan (x minus 8) berturut-turut adalah 11, 23, 15, dan 31, maka nilai b adalah ....

Diberikan polinomial \( P(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d \), kita tahu bahwa:

- \( P(3) = 11 \)
- \( P(6) = 23 \)
- \( P(4) = 15 \)
- \( P(8) = 31 \)

Langkah-langkah penyelesaian:

### 1. Substitusi Nilai ke Polinomial
Kita akan substitusi setiap nilai \( x \) yang diberikan ke dalam persamaan polinomial untuk mendapatkan sistem persamaan.

- Dari \( P(3) = 11 \):
  \[
  3^4 + a(3^3) + b(3^2) + c(3) + d = 11
  \]
  \[
  81 + 27a + 9b + 3c + d = 11
  \]
  \[
  27a + 9b + 3c + d = -70 \quad \text{(persamaan 1)}
  \]

- Dari \( P(6) = 23 \):
  \[
  6^4 + a(6^3) + b(6^2) + c(6) + d = 23
  \]
  \[
  1296 + 216a + 36b + 6c + d = 23
  \]
  \[
  216a + 36b + 6c + d = -1273 \quad \text{(persamaan 2)}
  \]

- Dari \( P(4) = 15 \):
  \[
  4^4 + a(4^3) + b(4^2) + c(4) + d = 15
  \]
  \[
  256 + 64a + 16b + 4c + d = 15
  \]
  \[
  64a + 16b + 4c + d = -241 \quad \text{(persamaan 3)}
  \]

- Dari \( P(8) = 31 \):
  \[
  8^4 + a(8^3) + b(8^2) + c(8) + d = 31
  \]
  \[
  4096 + 512a + 64b + 8c + d = 31
  \]
  \[
  512a + 64b + 8c + d = -4065 \quad \text{(persamaan 4)}
  \]

### 2. Sistem Persamaan Linear
Sekarang kita punya empat persamaan linear:

1. \( 27a + 9b + 3c + d = -70 \)
2. \( 216a + 36b + 6c + d = -1273 \)
3. \( 64a + 16b + 4c + d = -241 \)
4. \( 512a + 64b + 8c + d = -4065 \)

Kita dapat menyelesaikan sistem persamaan ini dengan metode eliminasi atau substitusi.

### 3. Pengurangan untuk Eliminasi \( d \)
Kita kurangi persamaan kedua dengan persamaan pertama untuk mengeliminasi \( d \):
\[
(216a + 36b + 6c + d) - (27a + 9b + 3c + d) = -1273 - (-70)
\]
\[
189a + 27b + 3c = -1203 \quad \text{(persamaan 5)}
\]

Lakukan hal yang sama dengan persamaan ketiga dan pertama:
\[
(64a + 16b + 4c + d) - (27a + 9b + 3c + d) = -241 - (-70)
\]
\[
37a + 7b + c = -171 \quad \text{(persamaan 6)}
\]

Lanjutkan dengan mengurangi persamaan keempat dan pertama:
\[
(512a + 64b + 8c + d) - (27a + 9b + 3c + d) = -4065 - (-70)
\]
\[
485a + 55b + 5c = -3995 \quad \text{(persamaan 7)}
\]

Sekarang kita bisa menyelesaikan persamaan baru (5), (6), dan (7) untuk mendapatkan nilai \( a \), \( b \), dan \( c \). Setelah itu kita substitusi hasilnya ke dalam persamaan awal untuk menemukan nilai \( b \).

Mari kita lanjutkan perhitungan untuk mendapatkan nilai \( b \).

Dari sistem persamaan yang telah diselesaikan, kita mendapatkan bahwa:

- \( a = -21 \)
- \( b = 158 \)
- \( c = -500 \)

Jadi, nilai \( b \) adalah **158**.

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut mengenai langkah-langkah ini, atau ada hal lain yang ingin ditanyakan?

Berikut 5 pertanyaan terkait:
1. Bagaimana kita bisa memverifikasi solusi untuk \( a \), \( b \), dan \( c \)?
2. Bagaimana metode eliminasi digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan?
3. Apa peran bilangan sisa dalam menentukan persamaan untuk polinomial?
4. Bagaimana sistem persamaan linear diterapkan dalam matematika lainnya?
5. Mengapa polinomial derajat 4 membutuhkan 5 variabel untuk diselesaikan?

**Tip**: Saat menghadapi sistem persamaan linear, mencoba metode eliminasi atau substitusi sering kali merupakan cara yang paling efektif untuk memecahkan masalah yang melibatkan banyak variabel.

Diberikan polinom berderajat 4 P(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d, di mana a, b, c, d adalah bilangan riil. Jika sisa pembagian P(x) oleh (x - 3), (x - 6), (x - 4), dan (x - 8) berturut-turut adalah 11, 23, 15, dan 31, maka nilai b adalah ....

Learn how to solve a degree-4 polynomial using the remainder theorem and system of equations to find the value of coefficient b. This problem involves advanced algebraic concepts like polynomial division, and is suitable for students in Grades 11-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation