Untuk mencari koordinat semua titik $P$ pada sumbu $x$ (artinya $P = (x, 0)$), sehingga garis yang melalui $A(1,2)$ dan $P(x,0)$ tegak lurus dengan garis yang melalui $B(3,8)$ dan $P(x,0)$, kita bisa menggunakan konsep kemiringan (gradien) garis.

Langkah 1: Gradien Garis yang Melalui A dan P

Misalkan $P = (x, 0)$. Gradien dari garis yang melalui $A(1, 2)$ dan $P(x, 0)$ diberikan oleh:

$m_{AP} = \frac{0 - 2}{x - 1} = \frac{-2}{x - 1}$

Langkah 2: Gradien Garis yang Melalui B dan P

Gradien dari garis yang melalui $B(3, 8)$ dan $P(x, 0)$ adalah:

$m_{BP} = \frac{0 - 8}{x - 3} = \frac{-8}{x - 3}$

Langkah 3: Hubungan Gradien Garis Tegak Lurus

Jika dua garis tegak lurus, maka hasil kali gradien kedua garis tersebut adalah $-1$. Jadi, kita dapat menuliskan persamaan:

$m_{AP} \times m_{BP} = -1$

Substitusikan nilai gradien $m_{AP}$ dan $m_{BP}$:

$\frac{-2}{x - 1} \times \frac{-8}{x - 3} = -1$

Langkah 4: Selesaikan Persamaan

Sekarang, kita selesaikan persamaan tersebut:

$\frac{-2}{x - 1} \times \frac{-8}{x - 3} = -1$

$\frac{16}{(x - 1)(x - 3)} = -1$

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $(x - 1)(x - 3)$:

$16 = -(x - 1)(x - 3)$

Sekarang, kita kembangkan sisi kanan:

$16 = -(x^2 - 3x - x + 3) = -(x^2 - 4x + 3)$

$16 = -x^2 + 4x - 3$

Pindahkan semua ke satu sisi:

$x^2 - 4x + 19 = 0$

Langkah 5: Cari Nilai $x$

Sekarang kita selesaikan persamaan kuadrat ini menggunakan rumus kuadrat:

$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(19)}}{2(1)}$

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 76}}{2}$

$x = \frac{4 \pm \sqrt{-60}}{2}$

$x = \frac{4 \pm \sqrt{60}i}{2}$

$x = 2 \pm \sqrt{15}i$

Kesimpulan:

Tidak ada titik $P$ yang terletak pada sumbu $x$ dalam himpunan bilangan real yang memenuhi kondisi tegak lurus, karena nilai $x$ yang didapatkan adalah bilangan kompleks.

Apakah ada yang ingin ditanyakan? Berikut beberapa pertanyaan terkait:

1. Bagaimana langkah-langkah rumus kuadrat digunakan untuk persamaan kuadrat?
2. Apa hubungan antara gradien dan kemiringan garis tegak lurus?
3. Bagaimana sifat garis dengan bilangan kompleks diterapkan dalam geometri?
4. Apakah mungkin memiliki solusi bilangan real untuk masalah ini?
5. Mengapa hasil persamaan ini berupa bilangan kompleks?

Tip: Saat dua garis tegak lurus, perkalian gradiennya selalu $-1$.