Vamos a resolver cada uno de los ejercicios indicados en la imagen considerando que $k = x$:

d) $\log \sqrt[3]{\sqrt{10x}}$

Para simplificar esta expresión:

1. Eliminar las raíces: $\sqrt[3]{\sqrt{10x}} = \left(10x\right)^{1/6}$ Esto es porque: $\sqrt{10x} = (10x)^{1/2} \quad \text{y luego} \quad \sqrt[3]{(10x)^{1/2}} = (10x)^{1/6}$

2. Aplicar la propiedad del logaritmo: $\log\left((10x)^{1/6}\right) = \frac{1}{6} \log(10x)$

3. Usar la propiedad de logaritmos para separar: $\frac{1}{6} \left( \log 10 + \log x \right)$

4. Finalmente, sabemos que $\log 10 = 1$, entonces: $\frac{1}{6} \left( 1 + \log x \right) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} \log x$

e) $\log \frac{1}{x}$

Para simplificar:

1. Usamos la propiedad del logaritmo del cociente: $\log \frac{1}{x} = \log 1 - \log x$

2. Sabemos que $\log 1 = 0$, por lo tanto: $\log \frac{1}{x} = -\log x$

f) $\left( \log x \right)^{4/2}$

Simplificando la expresión:

1. $\frac{4}{2} = 2$, por lo tanto: $\left( \log x \right)^{4/2} = \left( \log x \right)^2$

Resumen de las soluciones:

• d) $\frac{1}{6} + \frac{1}{6} \log x$
• e) $- \log x$
• f) $\left( \log x \right)^2$

¿Tienes alguna duda o te gustaría que explique algún paso con más detalle?

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Tip: Las propiedades del logaritmo como el producto, el cociente y las potencias te permiten simplificar expresiones complejas rápidamente.