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resuelve la d, la e y la f, teniendo en cuenta que k=x

Vamos a resolver cada uno de los ejercicios indicados en la imagen considerando que \( k = x \):

### d) \( \log \sqrt[3]{\sqrt{10x}} \)

Para simplificar esta expresión:

1. Eliminar las raíces:
   \[
   \sqrt[3]{\sqrt{10x}} = \left(10x\right)^{1/6}
   \]
   Esto es porque:
   \[
   \sqrt{10x} = (10x)^{1/2} \quad \text{y luego} \quad \sqrt[3]{(10x)^{1/2}} = (10x)^{1/6}
   \]

2. Aplicar la propiedad del logaritmo:
   \[
   \log\left((10x)^{1/6}\right) = \frac{1}{6} \log(10x)
   \]

3. Usar la propiedad de logaritmos para separar:
   \[
   \frac{1}{6} \left( \log 10 + \log x \right)
   \]

4. Finalmente, sabemos que \( \log 10 = 1 \), entonces:
   \[
   \frac{1}{6} \left( 1 + \log x \right) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} \log x
   \]

### e) \( \log \frac{1}{x} \)

Para simplificar:

1. Usamos la propiedad del logaritmo del cociente:
   \[
   \log \frac{1}{x} = \log 1 - \log x
   \]

2. Sabemos que \( \log 1 = 0 \), por lo tanto:
   \[
   \log \frac{1}{x} = -\log x
   \]

### f) \( \left( \log x \right)^{4/2} \)

Simplificando la expresión:

1. \( \frac{4}{2} = 2 \), por lo tanto:
   \[
   \left( \log x \right)^{4/2} = \left( \log x \right)^2
   \]

### Resumen de las soluciones:
- d) \( \frac{1}{6} + \frac{1}{6} \log x \)
- e) \( - \log x \)
- f) \( \left( \log x \right)^2 \)

¿Tienes alguna duda o te gustaría que explique algún paso con más detalle?

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas para seguir practicando:

1. ¿Cómo se simplifica \( \log \sqrt{ab} \)?
2. ¿Qué propiedades de los logaritmos se usan en \( \log \frac{a}{b} \)?
3. ¿Qué sucede si el valor de \( x \) es negativo en un logaritmo?
4. ¿Cómo se puede expresar \( \log (a^b) \) utilizando propiedades de logaritmos?
5. ¿Cómo se resuelve \( \log 10^3 \)?

**Tip:** Las propiedades del logaritmo como el producto, el cociente y las potencias te permiten simplificar expresiones complejas rápidamente.

Step-by-step solutions for logarithmic expressions including log(√³(√10x)), log(1/x), and (log x)^(4/2). Explore key logarithmic properties, exponent laws, and algebraic simplifications. Ideal for students in Grades 10-12.

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