Math Problem Statement

Selesaikan himpunan melalui metode matrix

Solution

Untuk menyelesaikan sistem persamaan linier melalui metode matriks, ada beberapa langkah yang perlu diikuti. Mari kita ambil contoh sistem persamaan linier berikut:

2x + 3y &= 5 \\ 4x + y &= 6 \end{aligned}$$ ### Langkah-langkah: 1. **Tuliskan dalam bentuk matriks:** Sistem persamaan linier bisa ditulis dalam bentuk matriks sebagai $$AX = B$$, di mana: $$A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 1 \end{pmatrix}, \quad X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \end{pmatrix}$$ 2. **Cari invers matriks $$A$$:** Untuk menyelesaikan sistem ini, kita perlu mencari invers dari matriks $$A$$, yaitu $$A^{-1}$$, sehingga solusi $$X$$ bisa dihitung sebagai: $$X = A^{-1}B$$ Untuk matriks $$2 \times 2$$, invers bisa dihitung dengan rumus: $$A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \text{adj}(A)$$ Di mana $$\text{det}(A)$$ adalah determinan dari matriks $$A$$ dan $$\text{adj}(A)$$ adalah adjoin dari $$A$$. 3. **Hitung determinan matriks $$A$$:** Determinan matriks $$A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 1 \end{pmatrix}$$ adalah: $$\text{det}(A) = (2)(1) - (4)(3) = 2 - 12 = -10$$ Karena determinannya bukan nol, kita bisa lanjut menghitung invers. 4. **Hitung adjoin dari matriks $$A$$:** Adjoin dari matriks $$A$$ adalah: $$\text{adj}(A) = \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ -4 & 2 \end{pmatrix}$$ 5. **Hitung invers matriks $$A$$:** Invers dari $$A$$ adalah: $$A^{-1} = \frac{1}{-10} \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ -4 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{10} & \frac{3}{10} \\ \frac{4}{10} & -\frac{2}{10} \end{pmatrix}$$ 6. **Hitung $$X = A^{-1}B$$:** Sekarang kita kalikan invers $$A$$ dengan matriks $$B$$: $$X = \begin{pmatrix} -\frac{1}{10} & \frac{3}{10} \\ \frac{4}{10} & -\frac{2}{10} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \end{pmatrix}$$ Hitung hasilnya: $$x = \left( -\frac{1}{10}(5) + \frac{3}{10}(6) \right) = \frac{-5 + 18}{10} = \frac{13}{10} = 1.3$$ $$y = \left( \frac{4}{10}(5) - \frac{2}{10}(6) \right) = \frac{20 - 12}{10} = \frac{8}{10} = 0.8$$ ### Solusi: Jadi, solusi dari sistem persamaan linier tersebut adalah: $$x = 1.3, \quad y = 0.8$$ Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau memiliki pertanyaan lain terkait langkah-langkah di atas? Berikut 5 pertanyaan terkait yang mungkin bisa membantu Anda memahami lebih dalam: 1. Bagaimana cara menghitung determinan dari matriks ukuran lebih besar? 2. Apa yang terjadi jika determinan matriks $$A$$ sama dengan nol? 3. Bagaimana cara menyelesaikan sistem persamaan linier dengan lebih dari dua variabel menggunakan metode matriks? 4. Apa perbedaan antara metode invers matriks dan metode eliminasi Gauss? 5. Bagaimana cara menggunakan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan yang tidak memiliki solusi unik? **Tip:** Saat bekerja dengan matriks yang besar, periksa apakah bisa disederhanakan atau dipecah menggunakan metode lain, seperti eliminasi Gauss.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Linear Algebra
Matrices
System of Linear Equations

Formulas

Matrix multiplication: AX = B
Inverse of a 2x2 matrix: A^{-1} = (1/det(A)) adj(A)
Determinant of a 2x2 matrix: det(A) = ad - bc

Theorems

Matrix Inversion
Determinant Theorem

Suitable Grade Level

Grades 10-12

Related Recommendation

Solve System of Linear Equations Using Matrix Inversion

Solving a System of Linear Equations using Matrices and Inverse Matrix Method

Solve System of Linear Equations using Matrices

Solving a System of Linear Equations Using Inverse Matrices: 4x1+x2-5x3=16, x1 +2x2-4x3=6, -2x2-x3=6

Solving a System of Linear Equations Using Matrix Inversion