Math Problem Statement

Розвʼязати систему лінійних алгебраїчних рівнянь за допомогою зворотної матриці 4x1+x2-5x3=16; x1 +2x2-4x3=6; -2x2-x3=6

Solution

Розв'яжемо систему лінійних алгебраїчних рівнянь за допомогою зворотної матриці. Запишемо систему рівнянь у матричній формі:

4x_1 + x_2 - 5x_3 &= 16 \\ x_1 + 2x_2 - 4x_3 &= 6 \\ -2x_2 - x_3 &= 6 \end{aligned}$$ ### 1. Матрична форма Систему можна записати як: $$\mathbf{A} \mathbf{x} = \mathbf{b}$$ де матриця коефіцієнтів $$\mathbf{A}$$, вектор змінних $$\mathbf{x}$$, та вектор правих частин $$\mathbf{b}$$ мають вигляд: $$\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 4 & 1 & -5 \\ 1 & 2 & -4 \\ 0 & -2 & -1 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 16 \\ 6 \\ 6 \end{pmatrix}$$ ### 2. Обчислення оберненої матриці $$\mathbf{A}^{-1}$$ Щоб знайти розв'язок системи, потрібно обчислити обернену матрицю $$\mathbf{A}^{-1}$$, після чого розв'язок знаходиться за формулою: $$\mathbf{x} = \mathbf{A}^{-1} \mathbf{b}$$ Знайду обернену матрицю та проведу всі обчислення. ### 3. Обчислення Давайте спочатку знайдемо обернену матрицю.Розв'язок системи рівнянь: $$x_1 = 2, \quad x_2 = -2, \quad x_3 = -2$$ Отже, $$x_1 = 2$$, $$x_2 = -2$$, $$x_3 = -2$$. Чи потрібні додаткові деталі або пояснення? ### Питання для розширення теми: 1. Як побудувати обернену матрицю вручну? 2. Що таке визначник матриці і як його використовувати для обчислення оберненої матриці? 3. Як застосувати метод Крамера для розв'язання цієї системи рівнянь? 4. Чи можливо розв'язати систему за допомогою методу Гаусса? 5. Як перевірити, чи матриця є виродженою? ### Порада: При роботі з матрицями завжди корисно спочатку перевірити визначник, щоб переконатися, що матриця не вироджена (тобто має обернену).

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Linear Algebra
Systems of Equations
Matrix Inversion

Formulas

Matrix form: A * x = b
Inverse matrix formula: x = A^(-1) * b

Theorems

Inverse Matrix Theorem
Determinant Calculation

Suitable Grade Level

Grades 10-12

Related Recommendation

Solving a System of Linear Equations Using Inverse Matrix Method

Solving a System of Linear Equations using Matrices and Inverse Matrix Method

Solve System of Linear Equations Using Matrix Inversion

Solving a System of Linear Equations Using Matrix Inversion

Solve System of Equations Using Inverse Matrix - 12.4.75-GC