Розвʼязати систему лінійних алгебраїчних рівнянь за допомогою зворотної матриці 4x1+x2-5x3=16; x1 +2x2-4x3=6; -2x2-x3=6

Розв'яжемо систему лінійних алгебраїчних рівнянь за допомогою зворотної матриці. Запишемо систему рівнянь у матричній формі:

\[
\begin{aligned}
4x_1 + x_2 - 5x_3 &= 16 \\
x_1 + 2x_2 - 4x_3 &= 6 \\
-2x_2 - x_3 &= 6
\end{aligned}
\]

### 1. Матрична форма
Систему можна записати як:

\[
\mathbf{A} \mathbf{x} = \mathbf{b}
\]

де матриця коефіцієнтів \(\mathbf{A}\), вектор змінних \(\mathbf{x}\), та вектор правих частин \(\mathbf{b}\) мають вигляд:

\[
\mathbf{A} = \begin{pmatrix}
4 & 1 & -5 \\
1 & 2 & -4 \\
0 & -2 & -1
\end{pmatrix},
\quad
\mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix},
\quad
\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 16 \\ 6 \\ 6 \end{pmatrix}
\]

### 2. Обчислення оберненої матриці \(\mathbf{A}^{-1}\)
Щоб знайти розв'язок системи, потрібно обчислити обернену матрицю \(\mathbf{A}^{-1}\), після чого розв'язок знаходиться за формулою:

\[
\mathbf{x} = \mathbf{A}^{-1} \mathbf{b}
\]

Знайду обернену матрицю та проведу всі обчислення.

### 3. Обчислення

Давайте спочатку знайдемо обернену матрицю.Розв'язок системи рівнянь:

\[
x_1 = 2, \quad x_2 = -2, \quad x_3 = -2
\]

Отже, \( x_1 = 2 \), \( x_2 = -2 \), \( x_3 = -2 \).

Чи потрібні додаткові деталі або пояснення?

### Питання для розширення теми:
1. Як побудувати обернену матрицю вручну?
2. Що таке визначник матриці і як його використовувати для обчислення оберненої матриці?
3. Як застосувати метод Крамера для розв'язання цієї системи рівнянь?
4. Чи можливо розв'язати систему за допомогою методу Гаусса?
5. Як перевірити, чи матриця є виродженою?

### Порада:
При роботі з матрицями завжди корисно спочатку перевірити визначник, щоб переконатися, що матриця не вироджена (тобто має обернену).

Learn how to solve a system of linear equations using inverse matrices. This step-by-step solution covers key linear algebra concepts, including matrix inversion and the application of the inverse matrix theorem. Suitable for students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation