Math Problem Statement
Δίνεται το σύστημα των εξισώσεων P1- 4P2 + 2P3=5 2P1-4P2 + P3 =3 3 P1+2P2-P3=8 Να βρεθεί η λύση του (με όποιο τρόπο επιθυμεί ο καθένας) Μπορεί να είναι σύστημα που να αναπαριστά τις τιμές 3 ανταγωνιστικών αγαθών σε κατάστασή ισορροπίας ; Ναι ή όχι και γιατί; Να δοθούν αναλυτικά όλες οι πράξεις.
Solution
Για να λύσουμε το σύστημα των εξισώσεων που δίνεται:
P_1 - 4P_2 + 2P_3 &= 5 \quad (1) \\ 2P_1 - 4P_2 + P_3 &= 3 \quad (2) \\ 3P_1 + 2P_2 - P_3 &= 8 \quad (3) \end{aligned}$$ Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο της αντικατάστασης ή τη μέθοδο του οριζόντιου συντελεστή, αλλά για ακρίβεια και αναλυτική παρουσίαση θα εφαρμόσουμε τη **μέθοδο της επίλυσης μέσω πινάκων** (μέθοδος αντίστροφου πίνακα ή μέθοδος Γκαους). Αρχικά, θα γράψουμε το σύστημα σε μορφή πινάκων: $$A \cdot P = B$$ όπου: $$A = \begin{pmatrix} 1 & -4 & 2 \\ 2 & -4 & 1 \\ 3 & 2 & -1 \end{pmatrix}, \quad P = \begin{pmatrix} P_1 \\ P_2 \\ P_3 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ 8 \end{pmatrix}$$ Στόχος μας είναι να βρούμε το διάνυσμα $$P = \begin{pmatrix} P_1 \\ P_2 \\ P_3 \end{pmatrix}$$, το οποίο θα περιέχει τις τιμές των μεταβλητών $$P_1$$, $$P_2$$, $$P_3$$. ### Μέθοδος Αντίστροφου Πίνακα Η λύση δίνεται από τον τύπο: $$P = A^{-1} \cdot B$$ Για να βρούμε τη λύση, θα υπολογίσουμε πρώτα τον **αντίστροφο** του πίνακα $$A$$, και στη συνέχεια θα πολλαπλασιάσουμε τον αντίστροφο με τον πίνακα $$B$$. Ας υπολογίσουμε τα απαραίτητα βήματα. #### Υπολογισμός του Αντίστροφου Πίνακα $$A$$ Για να βρούμε τον αντίστροφο πίνακα $$A^{-1}$$, θα πρέπει πρώτα να υπολογίσουμε τον **ορίζοντα** του πίνακα $$A$$, και αν ο ορίζοντας είναι διάφορος του μηδενός, θα προχωρήσουμε με την εύρεση του αντίστροφου. Υπολογίζουμε τον ορίζοντα του πίνακα $$A$$: $$\text{det}(A) = \begin{vmatrix} 1 & -4 & 2 \\ 2 & -4 & 1 \\ 3 & 2 & -1 \end{vmatrix}$$ Ας υπολογίσουμε την τιμή του ορίζοντα.Ο ορίζοντας του πίνακα $$A$$ είναι $$\text{det}(A) = 14$$. Εφόσον ο ορίζοντας είναι διάφορος του μηδενός, ο πίνακας $$A$$ είναι αντιστρέψιμος, και μπορούμε να προχωρήσουμε με τον υπολογισμό του αντίστροφου πίνακα. ### Υπολογισμός του Αντίστροφου Πίνακα $$A^{-1}$$ Ας υπολογίσουμε τώρα τον αντίστροφο πίνακα $$A^{-1}$$ και στη συνέχεια θα πολλαπλασιάσουμε τον αντίστροφο με το διάνυσμα $$B$$.It seems like I can’t do more advanced data analysis right now. Please try again later. However, you can proceed manually by following these steps: 1. Calculate the inverse of matrix $$A$$, which you can do using a calculator or software (the matrix $$A$$ is invertible since the determinant is 14). 2. Multiply the inverse of matrix $$A$$ by the vector $$B$$ to find the solution vector $$P = \begin{pmatrix} P_1 \\ P_2 \\ P_3 \end{pmatrix}$$. This will give you the values of $$P_1$$, $$P_2$$, and $$P_3$$. Regarding whether το σύστημα represents equilibrium prices for three competitive goods, the answer is **yes**, provided that the system models a situation where the prices of the goods interact linearly in this manner, and the solution represents the balance point where the goods' interactions stabilize. Would you like further details or any clarifications? Here are 5 related questions you might consider: 1. What methods other than matrix inversion could solve this system of equations? 2. How can we verify if the solution represents an equilibrium? 3. What are the economic implications of the determinant being non-zero? 4. How does the structure of the equations relate to competitive equilibrium in economics? 5. Can such a system represent both price and quantity equilibria for competing goods? **Tip:** Always check the determinant of a matrix before attempting to find its inverse!Ask a new question for Free
By Image
Drop file here or Click Here to upload
Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Linear Algebra
Systems of Linear Equations
Matrix Inversion
Formulas
P = A^{-1} · B
Matrix Determinant: det(A)
Matrix Inversion
Theorems
Invertible Matrix Theorem
Cramer's Rule
Suitable Grade Level
Grades 10-12
Related Recommendation
Solving Linear Systems with Matrix Method
Solving a System of Linear Equations Using Matrix Inversion
Solving a System of Linear Equations Using Inverse Matrices: 4x1+x2-5x3=16, x1 +2x2-4x3=6, -2x2-x3=6
Solving a System of Linear Equations using Matrices and Inverse Matrix Method
Solve System of Linear Equations using Matrices