Pour résoudre l'intégrale $\int_0^1 x(1+x^2)^{19} \, dx$ en effectuant un changement de variable, procédons comme suit :

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Étape 1 : Identifier un changement de variable adapté

Posons $u = 1 + x^2$.
Ainsi, on a : $du = 2x \, dx.$ Cela implique que $x \, dx = \frac{1}{2} \, du$.

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Étape 2 : Mettre à jour les bornes d'intégration

Quand $x = 0$, $u = 1 + 0^2 = 1$.
Quand $x = 1$, $u = 1 + 1^2 = 2$.

Ainsi, l'intégrale devient : $\int_0^1 x(1+x^2)^{19} \, dx = \int_1^2 \frac{1}{2} u^{19} \, du.$

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Étape 3 : Résoudre l'intégrale

On intègre $\frac{1}{2} u^{19}$ : $\int u^{19} \, du = \frac{u^{20}}{20}.$ Donc : [ \int_1^2 \frac{1}{2} u^{19} , du = \frac{1}{2} \left[\frac{u^{20}}{20}\right]_1^2 = \frac{1}{40} \left[2^{20} - 1^{20}\right]. ]

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Étape 4 : Simplification finale

$\int_0^1 x(1+x^2)^{19} \, dx = \frac{1}{40} (2^{20} - 1).$

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Réponse correcte

La réponse est D. $\frac{1}{40} (2^{20} - 1)$.

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Avez-vous des questions ou souhaitez-vous des détails supplémentaires ?

Questions relatives

1. Que signifie un changement de variable dans le cadre des intégrales ?
2. Comment vérifier si une substitution est correcte dans un problème d'intégration ?
3. Pourquoi les bornes changent-elles après une substitution ?
4. Comment traiter les cas où les bornes d'intégration sont infinies ?
5. Quelle est l'interprétation géométrique de cette intégrale dans le contexte d'une surface sous une courbe ?

Astuce : Lors de l'intégration par substitution, assurez-vous toujours de bien mettre à jour les bornes ou de revenir à la variable initiale après le calcul.