Pour résoudre l'intégrale $\int_{1}^{0} x(1 + x^2)^{19} \, dx$ par un changement de variable, nous devons d'abord déterminer une substitution appropriée.

Une substitution classique pour cet intégral est de poser $u = 1 + x^2$. Ensuite, nous dérivons cette expression pour trouver $du$: $du = 2x \, dx$ ou $x \, dx = \frac{1}{2} \, du$

Ensuite, nous devons changer les bornes de l'intégrale en fonction de $u$.

• Quand $x = 1$, $u = 1 + 1^2 = 2$.
• Quand $x = 0$, $u = 1 + 0^2 = 1$.

Ainsi, l'intégrale devient : $\int_{2}^{1} (1 + x^2)^{19} \cdot x \, dx = \int_{2}^{1} u^{19} \cdot \frac{1}{2} \, du$

Nous pouvons alors écrire : $= \frac{1}{2} \int_{2}^{1} u^{19} \, du$

Pour évaluer cette intégrale, nous intégrons $u^{19}$ : $= \frac{1}{2} \left[ \frac{u^{20}}{20} \right]_{2}^{1}$

Calculons cela : $= \frac{1}{2} \left( \frac{1^{20}}{20} - \frac{2^{20}}{20} \right)$ $= \frac{1}{2} \left( \frac{1}{20} - \frac{2^{20}}{20} \right)$

Simplifions : $= \frac{1}{2} \times \frac{1 - 2^{20}}{20}$ $= \frac{1 - 2^{20}}{40}$ $= \frac{-(2^{20} - 1)}{40}$ $= \frac{1 - 2^{20}}{40}$

Finalement, la valeur de l'intégrale est : $= \frac{1 - 2^{20}}{40}$ Cela correspond à la réponse D: $\frac{1}{40} (2^{20} - 1)$.