解答

ステップ 1: 変化の割合から係数 $a$ を求める

変化の割合は、関数 $y = ax^2$ において、ある区間 $x = p$ から $x = q$ までの変化の割合は以下の式で求められる。

$\frac{y(q) - y(p)}{q - p}$

ここで、$x = 1$ から $x = 3$ までの変化の割合が $\frac{8}{3}$ であることがわかっているので、これを式に代入する。

$\frac{a(3^2) - a(1^2)}{3 - 1} = \frac{8}{3}$

$\frac{9a - a}{2} = \frac{8}{3}$

$\frac{8a}{2} = \frac{8}{3}$

$4a = \frac{8}{3}$

$a = \frac{2}{3}$

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ステップ 2: y座標が8の点のx座標を求める

$y = \frac{2}{3}x^2$ のグラフ上で $y = 8$ となる $x$ の値を求める。

$\frac{2}{3} x^2 = 8$

$x^2 = \frac{8 \times 3}{2} = 12$

$x = \pm 2\sqrt{3}$

よって、点 $P$ の $x$ 座標は $-2\sqrt{3}$、点 $Q$ の $x$ 座標は $2\sqrt{3}$ である。

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ステップ 3: y軸上の点Aの確認

$y$ 軸上の点 $A$ の座標は $(0, 6)$ である。
これは関数の式と無関係に与えられている条件であり、求める値 $a$ には影響しない。

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結論

求める $a$ の値は $\frac{2}{3}$ である。

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関連問題

1. $y = ax^2$ の変化の割合を求める一般的な方法を説明せよ。
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3. $y = ax^2$ のグラフの頂点の座標と対称軸の関係を説明せよ。
4. 2点の $y$ 座標が等しい場合の $x$ 座標の関係を導く方法を述べよ。
5. 変化の割合が一定になる直線の方程式を求める方法を説明せよ。

Tip: 変化の割合は「平均の傾き」を表すので、特定の区間の2点を代入して求めることができる。