a. Tìm tất cả các chữ số x và y để số 123x8y chia hết cho 15.

Để số $123x8y$ chia hết cho 15, ta cần số này chia hết cho cả 3 và 5.

• Điều kiện chia hết cho 5: Số chia hết cho 5 nếu chữ số tận cùng của nó là 0 hoặc 5. Trong trường hợp này, chữ số tận cùng là $y$, vì vậy $y$ phải là 0 hoặc 5.

• Điều kiện chia hết cho 3: Một số chia hết cho 3 khi tổng các chữ số của nó chia hết cho 3. Tổng các chữ số của $123x8y$ là $1 + 2 + 3 + x + 8 + y = 14 + x + y$. Để số này chia hết cho 3, $14 + x + y$ phải chia hết cho 3.

Trường hợp 1: $y = 0$

Khi $y = 0$, tổng các chữ số trở thành: $14 + x + 0 = 14 + x$ Để $14 + x$ chia hết cho 3, ta giải phương trình: $14 + x \equiv 0 \pmod{3}$ Tính $14 \mod 3$, ta có $14 \equiv 2 \pmod{3}$, do đó: $2 + x \equiv 0 \pmod{3}$ $x \equiv 1 \pmod{3}$ Vậy $x$ có thể là 1, 4, hoặc 7.

Trường hợp 2: $y = 5$

Khi $y = 5$, tổng các chữ số trở thành: $14 + x + 5 = 19 + x$ Để $19 + x$ chia hết cho 3, ta giải phương trình: $19 + x \equiv 0 \pmod{3}$ Tính $19 \mod 3$, ta có $19 \equiv 1 \pmod{3}$, do đó: $1 + x \equiv 0 \pmod{3}$ $x \equiv 2 \pmod{3}$ Vậy $x$ có thể là 2, 5, hoặc 8.

Kết quả:

• Khi $y = 0$, $x$ có thể là 1, 4, hoặc 7.
• Khi $y = 5$, $x$ có thể là 2, 5, hoặc 8.

Các số thỏa mãn điều kiện là:

• 123080
• 123480
• 123780
• 123250
• 123550
• 123850

---

b. Sử dụng thuật toán Ơclit tìm ước chung lớn nhất của hai số 1242 và 312.

Thuật toán Ơclit (hay còn gọi là thuật toán Euclid) tìm ước chung lớn nhất (UCLN) của hai số bằng cách thực hiện phép chia liên tiếp.

Bước 1: Chia 1242 cho 312. $1242 \div 312 = 3 \quad \text{(dư 306)}$ $1242 - 3 \times 312 = 306$ Bước 2: Chia 312 cho 306. $312 \div 306 = 1 \quad \text{(dư 6)}$ $312 - 1 \times 306 = 6$ Bước 3: Chia 306 cho 6. $306 \div 6 = 51 \quad \text{(dư 0)}$ $306 - 51 \times 6 = 0$ Khi dư bằng 0, số còn lại là UCLN. Vậy ước chung lớn nhất của 1242 và 312 là 6.

---

c. Chứng minh rằng, trong bộ bất kì ba số tự nhiên liên tiếp, luôn có duy nhất một số chia hết cho 3.

Gọi ba số tự nhiên liên tiếp là $n$, $n+1$, và $n+2$.

Xét các số này theo modulo 3. Mọi số nguyên đều có thể được chia cho 3 và có một trong ba dư: 0, 1, hoặc 2. Khi chia ba số $n$, $n+1$, và $n+2$ cho 3, ta sẽ có ba giá trị dư là 0, 1, và 2.

• Nếu $n \equiv 0 \pmod{3}$, thì $n$ chia hết cho 3.
• Nếu $n \equiv 1 \pmod{3}$, thì $n+2 \equiv 0 \pmod{3}$, tức là $n+2$ chia hết cho 3.
• Nếu $n \equiv 2 \pmod{3}$, thì $n+1 \equiv 0 \pmod{3}$, tức là $n+1$ chia hết cho 3.

Như vậy, trong ba số liên tiếp $n$, $n+1$, $n+2$, luôn có duy nhất một số chia hết cho 3.

---

Bạn có muốn tìm hiểu chi tiết hơn về bất kỳ phần nào không? Hoặc có câu hỏi khác?

Các câu hỏi tiếp theo có thể tham khảo:

1. Làm sao để áp dụng thuật toán Ơclit trong các bài toán tìm ước chung lớn nhất phức tạp hơn?
2. Liệu có thể áp dụng cách chứng minh trong câu c với bộ số tự nhiên không liên tiếp?
3. Tại sao trong trường hợp số chia hết cho 5, ta chỉ cần kiểm tra chữ số tận cùng?
4. Làm thế nào để giải quyết các bài toán chia hết cho các số khác ngoài 3 và 5?
5. Thuật toán Ơclit có thể áp dụng cho các số không phải là số nguyên không?

Tip: Để nhớ cách áp dụng thuật toán Ơclit, bạn có thể ghi nhớ quy trình: chia số lớn cho số nhỏ, lấy dư và tiếp tục chia số nhỏ cho dư cho đến khi dư bằng 0.