Math Problem Statement

Câu 1 a. Tìm tất cả các chữ số x và y để số chia hết cho 15. Hãy liệt kê các số tìm được. b. Sử dụng thuật toán Ơclit tìm ước chung lớn nhất của hai số 1242 và 312. c. Chứng minh rằng, trong bộ bất kì ba số tự nhiên liên tiếp, luôn có duy nhất một số chia hết cho 3.

Solution

Chúng ta sẽ lần lượt giải các câu trong bài tập của bạn.

Câu 1a: Tìm tất cả các chữ số x và y để số chia hết cho 15. Liệt kê các số tìm được.

Số chia hết cho 15 nếu và chỉ nếu số đó chia hết cho 3 và chia hết cho 5. Do đó, ta cần áp dụng hai điều kiện sau:

  1. Chia hết cho 5: Một số chia hết cho 5 khi chữ số tận cùng của số đó là 0 hoặc 5.

  2. Chia hết cho 3: Một số chia hết cho 3 khi tổng các chữ số của số đó chia hết cho 3.

Giả sử số cần tìm có dạng: xy\overline{xy}, tức là số có chữ số hàng chục là xx và chữ số hàng đơn vị là yy. Vì số này phải chia hết cho 5, nên yy có thể là 0 hoặc 5.

Trường hợp 1: y=0y = 0

Khi đó số có dạng x0\overline{x0}. Tổng các chữ số là x+0=xx + 0 = x. Để số này chia hết cho 3, thì xx phải chia hết cho 3. Các giá trị xx thỏa mãn điều kiện này là x=0,3,6,9x = 0, 3, 6, 9. Vậy các số thỏa mãn là: 00, 30, 60, 90.

Trường hợp 2: y=5y = 5

Khi đó số có dạng x5\overline{x5}. Tổng các chữ số là x+5x + 5. Để số này chia hết cho 3, thì x+5x + 5 phải chia hết cho 3, hay x1(mod3)x \equiv 1 \pmod{3}. Các giá trị xx thỏa mãn điều kiện này là x=1,4,7x = 1, 4, 7. Vậy các số thỏa mãn là: 15, 45, 75.

Kết luận:

Các số thỏa mãn điều kiện chia hết cho 15 là: 00, 30, 60, 90, 15, 45, 75.


Câu 1b: Sử dụng thuật toán Ơclit để tìm ước chung lớn nhất của hai số 1242 và 312.

Thuật toán Ơclit tìm ước chung lớn nhất (UCLN) của hai số bằng cách lặp lại phép chia với phần dư cho đến khi phần dư bằng 0. Cụ thể:

  1. Bước 1: Chia 1242 cho 312: 1242÷312=3(phaˆˋn nguyeˆn)vaˋ12423×312=1242936=3061242 \div 312 = 3 \quad \text{(phần nguyên)} \quad \text{và} \quad 1242 - 3 \times 312 = 1242 - 936 = 306 Vậy phần dư là 306.

  2. **Bước

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Divisibility Rules
Euclidean Algorithm
Mathematical Proofs

Formulas

Divisibility by 3: Sum of digits divisible by 3
Divisibility by 5: Last digit is 0 or 5
Euclidean Algorithm: a = bq + r, continue with b and r until r = 0

Theorems

Euclidean Algorithm for GCD
Divisibility Theorem for 3 and 5
Mathematical Proof of Divisibility in Consecutive Numbers

Suitable Grade Level

Grades 9-11