Pertidaksamaan pecahan mutlak adalah pertidaksamaan yang melibatkan fungsi nilai mutlak dalam bentuk pecahan. Untuk menyelesaikan pertidaksamaan ini, kita perlu mempertimbangkan sifat-sifat nilai mutlak dan memecahnya menjadi beberapa kasus sesuai definisi nilai mutlak.

Misalkan kita memiliki bentuk umum:

$\frac{|f(x)|}{g(x)} \, \text{relasi} \, h(x)$

Berikut beberapa langkah yang biasanya digunakan dalam menyelesaikan pertidaksamaan pecahan mutlak:

Langkah-langkah Umum:

1. Identifikasi relasi: Relasi bisa berupa $>, \geq, <, \leq$.
2. Kasus positif dan negatif: Karena fungsi nilai mutlak $|f(x)|$ berarti $f(x) \geq 0$, kita harus membagi masalah menjadi dua kasus:
   • Kasus 1: $f(x) \geq 0$
   • Kasus 2: $f(x) < 0$
3. Hilangkan pecahan: Kalikan kedua sisi dengan penyebut $g(x)$ (pastikan $g(x) \neq 0$) dan tentukan tanda dari $g(x)$ karena ini akan memengaruhi tanda dari pertidaksamaan.
4. Selesaikan kedua kasus: Selesaikan pertidaksamaan dari kedua kasus untuk menemukan solusi.
5. Gabungkan hasil: Solusi akhir biasanya merupakan gabungan dari hasil dua kasus dan memperhitungkan batas-batas di mana penyebut tidak nol.

Contoh:

Misalkan kita punya pertidaksamaan:

$\frac{|x-2|}{x+1} \leq 3$

Langkah 1: Pecahkan Nilai Mutlak

$|x-2| \leq 3(x+1)$

Langkah 2: Kasus Pertama $x-2 \geq 0$ atau $x \geq 2$

$x - 2 \leq 3(x+1)$ Selesaikan ini untuk $x \geq 2$.

Langkah 3: Kasus Kedua $x-2 < 0$ atau $x < 2$

$-(x - 2) \leq 3(x+1)$ Selesaikan ini untuk $x < 2$.

Langkah 4: Gabungkan Hasil

Gabungkan solusi dari kedua kasus dan perhatikan domain.

Jika Anda membutuhkan contoh lainnya atau penjelasan lebih lanjut, silakan beri tahu.

Berikut adalah beberapa pertanyaan lanjutan yang relevan:

1. Bagaimana cara menyelesaikan pertidaksamaan tanpa pecahan mutlak?
2. Apa perbedaan dalam menyelesaikan pertidaksamaan dengan tanda lebih dari atau kurang dari?
3. Bagaimana cara menentukan batas-batas nilai fungsi pecahan?
4. Bagaimana jika fungsi di dalam nilai mutlak lebih kompleks (misalnya fungsi kuadrat)?
5. Bagaimana jika terdapat dua nilai mutlak dalam satu pertidaksamaan?

Tip: Saat memecahkan pertidaksamaan pecahan, selalu periksa domainnya (nilai yang menyebabkan penyebut nol) terlebih dahulu!