Pecahkan dengan rumus perbandingan dan identitas (cos45⁰/1-sin45⁰)-(cos45⁰/1+sin45⁰) = 2 tan45⁰

Kita akan memecahkan persamaan berikut menggunakan rumus trigonometri dan identitas:

\[
\left( \frac{\cos 45^\circ}{1 - \sin 45^\circ} \right) - \left( \frac{\cos 45^\circ}{1 + \sin 45^\circ} \right) = 2 \tan 45^\circ
\]

### Langkah 1: Substitusi Nilai Trigonometri
Diketahui bahwa:
- \(\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
- \(\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
- \(\tan 45^\circ = 1\)

Jadi, substitusi nilai-nilai ini ke dalam persamaan:

\[
\left( \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}} \right) - \left( \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}} \right) = 2(1)
\]

\[
\left( \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{2-\sqrt{2}}{2}} \right) - \left( \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{2+\sqrt{2}}{2}} \right) = 2
\]

### Langkah 2: Sederhanakan Pecahan
Kita sederhanakan kedua pecahan:

\[
\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{2-\sqrt{2}}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}
\]
dan
\[
\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{2+\sqrt{2}}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}
\]

Jadi persamaannya menjadi:

\[
\frac{\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}} - \frac{\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}} = 2
\]

### Langkah 3: Samakan Penyebut
Untuk mengurangi kedua pecahan, kita harus menyamakan penyebutnya. Kita kalikan silang dengan menggunakan bentuk \( (2 - \sqrt{2})(2 + \sqrt{2}) \):

\[
\frac{\sqrt{2}(2+\sqrt{2}) - \sqrt{2}(2-\sqrt{2})}{(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})}
\]

### Langkah 4: Gunakan Identitas Perbedaan Kuadrat
Ingat bahwa \( (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 \), jadi kita hitung penyebutnya:

\[
(2 - \sqrt{2})(2 + \sqrt{2}) = 2^2 - (\sqrt{2})^2 = 4 - 2 = 2
\]

Selanjutnya, hitung pembilangnya:

\[
\sqrt{2}(2+\sqrt{2}) - \sqrt{2}(2-\sqrt{2}) = 2\sqrt{2} + 2 - (2\sqrt{2} - 2) = 2 + 2 = 4
\]

Jadi, hasilnya adalah:

\[
\frac{4}{2} = 2
\]

### Langkah 5: Hasil Akhir
Karena kedua sisi persamaan sama, kita telah memverifikasi bahwa persamaan tersebut benar:

\[
2 = 2
\]

### Jawaban:
Persamaan \(\left( \frac{\cos 45^\circ}{1 - \sin 45^\circ} \right) - \left( \frac{\cos 45^\circ}{1 + \sin 45^\circ} \right) = 2 \tan 45^\circ\) benar.

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau memiliki pertanyaan?

### Pertanyaan terkait:
1. Apa identitas trigonometri lain yang sering digunakan dalam perbandingan?
2. Bagaimana cara menyederhanakan pecahan dengan penyebut irasional?
3. Bagaimana cara menggunakan identitas perbedaan kuadrat dalam bentuk lain?
4. Apa hubungan antara sinus dan kosinus pada sudut-sudut khusus?
5. Bagaimana cara memverifikasi identitas trigonometri secara aljabar?

**Tip**: Dalam perbandingan pecahan, menyamakan penyebut adalah langkah penting untuk memudahkan pengurangan atau penjumlahan.

Discover how to solve the trigonometric identity (cos45°/1-sin45°) - (cos45°/1+sin45°) = 2 tan45° using key trigonometric values and the difference of squares formula. This step-by-step solution simplifies fractions and demonstrates the verification of the identity. Suitable for Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation