La ecuación que tenemos es:

$1 - \cos(x) = \sqrt{3} \sin(x)$

Primero, reorganizaremos la ecuación para obtener todos los términos trigonométricos en un solo lado:

$\cos(x) + \sqrt{3} \sin(x) = 1$

Para resolver esta ecuación, podemos usar una técnica común para este tipo de ecuaciones lineales en seno y coseno: la transformación a una sola función trigonométrica. El objetivo es escribir la ecuación en la forma:

$R \cos(x - \alpha) = 1$

Donde $R$ y $\alpha$ son constantes que debemos determinar.

Paso 1: Encontrar $R$

Sabemos que podemos reescribir una expresión de la forma $a \cos(x) + b \sin(x)$ como $R \cos(x - \alpha)$, donde:

$R = \sqrt{a^2 + b^2}$

En nuestro caso, $a = 1$ y $b = \sqrt{3}$, por lo que:

$R = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$

Paso 2: Encontrar $\alpha$

Sabemos que:

$\cos(\alpha) = \frac{a}{R} = \frac{1}{2}, \quad \sin(\alpha) = \frac{b}{R} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Esto corresponde a un ángulo de $\alpha = \frac{\pi}{3}$.

Paso 3: Reescribir la ecuación

Ahora podemos reescribir la ecuación original como:

$2 \cos(x - \frac{\pi}{3}) = 1$

Paso 4: Resolver la ecuación

Dividimos ambos lados por 2:

$\cos(x - \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$

Sabemos que $\cos(\theta) = \frac{1}{2}$ ocurre cuando $\theta = \frac{\pi}{3} + 2k\pi$ o $\theta = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi$, donde $k$ es un entero.

Por lo tanto, resolvemos para $x$:

1. $x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + 2k\pi$ $x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi$

2. $x - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi$ $x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi$

Paso 5: Determinar las soluciones en el intervalo $[0, 3\pi)$

Evaluamos ambas soluciones dentro del intervalo:

1. Para $x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi$, obtenemos $x = \frac{2\pi}{3}$.
2. Para $x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi$, obtenemos $x = \frac{\pi}{3}$.

Además, podemos verificar las repeticiones de cada valor sumando múltiplos de $2\pi$, pero al limitar el rango de $x$, obtenemos las soluciones adicionales:

• $x = \frac{2\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$

Por lo tanto, las soluciones en el intervalo $[0, 3\pi)$ son:

$x = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}$

¿Te gustaría más detalles sobre alguno de los pasos?

Preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se reescribe una suma de seno y coseno en una sola función trigonométrica?
2. ¿Qué otras técnicas se pueden usar para resolver ecuaciones trigonométricas lineales?
3. ¿Cómo se determina el ángulo cuando se conocen $\sin(\alpha)$ y $\cos(\alpha)$?
4. ¿Cómo afecta el intervalo a las soluciones trigonométricas?
5. ¿Cómo se verifican las soluciones de ecuaciones trigonométricas?

Tip: Al resolver ecuaciones trigonométricas, es útil recordar los valores exactos de seno y coseno para ángulos comunes como $\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}$.