Math Problem Statement

Considere o triângulo a seguir, em que H é ortocentro.

O valor de x + y é

55°.

65°.

75°.

85°.

Solution

Vamos analisar o triângulo dado e usar as propriedades do ortocentro para encontrar o valor de x+yx + y.

Passos para solução:

  1. Identificação dos ângulos internos:

    • O triângulo ABCABC é um triângulo qualquer onde HH é o ortocentro.
    • No triângulo, ABC=15\angle ABC = 15^\circ e ACB=40\angle ACB = 40^\circ.
  2. Cálculo do terceiro ângulo BAC\angle BAC:

    • Usando a soma dos ângulos internos de um triângulo: BAC=180ABCACB=1801540=125\angle BAC = 180^\circ - \angle ABC - \angle ACB = 180^\circ - 15^\circ - 40^\circ = 125^\circ
  3. Propriedades do ortocentro HH:

    • O ortocentro HH é o ponto onde as alturas do triângulo se encontram.
    • As alturas de um triângulo em relação aos lados ABAB, BCBC, e CACA formam ângulos retos com esses lados.
  4. Análise dos ângulos xx e yy:

    • Considerando que AHC\angle AHC e BHF\angle BHF são ângulos externos do triângulo HBCHBC e HACHAC respectivamente, podemos usar a relação entre os ângulos para encontrar xx e yy.

    • Sabemos que FHC\angle FHC corresponde ao ângulo BAC\angle BAC, pois são ângulos opostos pelo vértice e HH está na altura de ACAC. Logo, x=125x = 125^\circ.

    • Para yy, observe que o ângulo yy é complementar a FCH\angle FCH, e como HH é o ortocentro, os ângulos adjacentes em FF e HH com a base BCBC somam 90°, então: y=9040=50y = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ

  5. Cálculo de x+yx + y: x+y=50+25=75x + y = 50^\circ + 25^\circ = 75^\circ

Portanto, o valor de x+yx + y é 7575^\circ.

Resposta: 7575^\circ.

Quer mais detalhes ou tem alguma dúvida? Aqui estão cinco perguntas relacionadas:

  1. Como se encontra o ortocentro de um triângulo em diferentes tipos de triângulos?
  2. Qual é a relação entre os ângulos internos de um triângulo e seus ângulos externos?
  3. Como as propriedades do ortocentro variam em um triângulo retângulo?
  4. Por que o ortocentro de um triângulo acutângulo está dentro do triângulo?
  5. Como o ortocentro muda em um triângulo obtusângulo?

Dica: Ao lidar com triângulos, sempre lembre-se de que a soma dos ângulos internos é sempre 180°. Isso pode ajudar a encontrar ângulos desconhecidos rapidamente.

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