For å finne lengden og bredden på Kari sin hage, kan vi sette opp et ligningssett basert på informasjonen som er gitt:

1. Arealet av hagen:

Arealet $A$ av en rektangulær hage er gitt ved formelen:

$A = \text{lengde} \times \text{bredde}$

Vi vet at arealet er 500 m², så:

$l \times b = 500$

hvor $l$ er lengden, og $b$ er bredden på hagen.

2. Omkretsen av hagen:

Omkretsen $P$ av en rektangulær hage er gitt ved formelen:

$P = 2l + 2b$

Vi vet at Kari har 90 meter gjerde, som betyr at omkretsen er 90 meter:

$2l + 2b = 90$

Ligningssettet:

Nå har vi et system med to ligninger:

1. $l \times b = 500$
2. $2l + 2b = 90$

Løsning:

For å løse dette ligningssettet, kan vi starte med å forenkle den andre ligningen:

$2l + 2b = 90 \implies l + b = 45$

Deretter kan vi bruke denne ligningen sammen med den første for å løse for $l$ og $b$.

Fra $l + b = 45$, kan vi isolere $l$ som:

$l = 45 - b$

Sett dette inn i den første ligningen $l \times b = 500$:

$(45 - b) \times b = 500$

Dette gir en kvadratisk ligning:

$45b - b^2 = 500$

Reorganiserer denne ligningen:

$b^2 - 45b + 500 = 0$

Nå kan vi løse denne kvadratiske ligningen med hjelp av kvadratsetningen:

$b = \frac{-(-45) \pm \sqrt{(-45)^2 - 4 \times 1 \times 500}}{2 \times 1}$

$b = \frac{45 \pm \sqrt{2025 - 2000}}{2}$

$b = \frac{45 \pm \sqrt{25}}{2}$

$b = \frac{45 \pm 5}{2}$

Så vi får to mulige løsninger:

$b = \frac{45 + 5}{2} = 25 \quad \text{eller} \quad b = \frac{45 - 5}{2} = 20$

Dermed har vi to mulige verdier for bredden: $b = 25$ meter eller $b = 20$ meter.

Finne lengden:

Nå kan vi finne lengden $l$ ved å bruke $l + b = 45$:

• Hvis $b = 25$, så $l = 45 - 25 = 20$.
• Hvis $b = 20$, så $l = 45 - 20 = 25$.

Konklusjon:

Lengden og bredden på hagen kan være:

• Lengde = 25 meter, Bredde = 20 meter, eller
• Lengde = 20 meter, Bredde = 25 meter.

Så Kari sin hage har enten dimensjonene 25 meter x 20 meter eller 20 meter x 25 meter.

Er dette klart, eller vil du ha flere detaljer om løsningen?

Her er noen relaterte spørsmål du kan utforske videre:

1. Hva skjer med arealet og omkretsen hvis Kari endrer lengden og bredden på hagen?
2. Hvordan kan vi bruke kvadratiske ligninger til å modellere andre virkelige situasjoner?
3. Hva er forskjellen mellom et rektangel og et kvadrat når vi jobber med omkrets og areal?
4. Hvordan kan man bruke Python for å løse slike ligningssett raskt?
5. Hvordan påvirker omkretsen formen på et rektangel i forhold til arealet?

Tips: Kvadratiske ligninger kan ofte løses ved å bruke faktorisering, kvadratsetningen eller fullføre kvadratet – det er nyttig å kjenne til alle metodene for å velge den beste løsningen i forskjellige situasjoner.