सवाल 5:

क्लास टेस्ट में शेफाली के गणित और अंग्रेजी में प्राप्त किए गए अंकों का योग 30 है। यदि उसको गणित में 2 अंक अधिक और अंग्रेजी में 3 अंक कम मिले होते, तो उनके अंकों का गुणनफल 210 होता।

समाधान:

मान लेते हैं कि गणित में शेफाली के अंक $x$ और अंग्रेजी में $y$ हैं।

हमें दिए गए हैं:

1. $x + y = 30$ ---- (i)

2. $(x + 2) \times (y - 3) = 210$ ---- (ii)

अब, $x + y = 30$ को $y$ के लिए हल करते हैं: $y = 30 - x$

अब इसे दूसरी समीकरण में रखते हैं: $(x + 2) \times ( (30 - x) - 3 ) = 210$ $(x + 2) \times (27 - x) = 210$ $27x - x^2 + 54 - 2x = 210$ $-x^2 + 25x - 156 = 0$ $x^2 - 25x + 156 = 0$

अब इस क्वाड्रेटिक समीकरण को हल करते हैं: $x = \frac{-(-25) \pm \sqrt{(-25)^2 - 4(1)(156)}}{2(1)}$ $x = \frac{25 \pm \sqrt{625 - 624}}{2}$ $x = \frac{25 \pm \sqrt{1}}{2}$ $x = \frac{25 \pm 1}{2}$

यहाँ से $x = 13$ या $x = 12$ हो सकता है।

अब $y = 30 - x$ से:

• यदि $x = 13$, तो $y = 17$।
• यदि $x = 12$, तो $y = 18$।

इन दोनों मानों को द्वितीय समीकरण में रखने पर केवल $x = 12$ और $y = 18$ सही उत्तर देता है।

अतः गणित में शेफाली के अंक 12 और अंग्रेजी में 18 हैं।

---

सवाल 6:

एक आयताकार खेत का विकर्ण उसकी छोटी भुजा से 60 मी अधिक लंबा है। यदि बड़ी भुजा छोटी भुजा से 30 मी अधिक हो, तो खेत की भुजाएँ ज्ञात कीजिए।

समाधान:

मान लेते हैं छोटी भुजा $x$ मी है और बड़ी भुजा $y = x + 30$ मी है। विकर्ण $\sqrt{x^2 + y^2} = x + 60$ है।

समीकरण बनाते हैं: $\sqrt{x^2 + (x + 30)^2} = x + 60$ $\sqrt{2x^2 + 60x + 900} = x + 60$ दोनों पक्षों का वर्ग: $2x^2 + 60x + 900 = x^2 + 120x + 3600$ $x^2 - 60x - 2700 = 0$

इसे हल करने पर: $x = 90 \text{ मी } \quad \text{(छोटी भुजा)}$ $y = 120 \text{ मी } \quad \text{(बड़ी भुजा)}$

अतः छोटी भुजा 90 मी और बड़ी भुजा 120 मी है।

---

सवाल 7:

दो संख्याओं के वर्गों का अंतर 180 है। छोटी संख्या का वर्ग बड़ी संख्या का आठ गुना है।

समाधान:

मान लेते हैं बड़ी संख्या $x$ और छोटी संख्या $y$ है।

हमें दिए गए हैं:

1. $x^2 - y^2 = 180$ ---- (i)
2. $y^2 = 8x$ ---- (ii)

पहली समीकरण में, $y^2 = 8x$ को रखकर हल करें: $x^2 - 8x = 180$ $x^2 - 8x - 180 = 0$

इसे हल करने पर: $x = 18 \quad y = 12$

अतः बड़ी संख्या 18 और छोटी संख्या 12 है।

---

सवाल 8:

एक रेलगाड़ी की चाल को ज्ञात करना है, जिससे वह 360 km की दूरी तय करती है।

समाधान:

मूल चाल $x$ km/h और समय $t$ घंटे हो।

गति में परिवर्तन करने पर: $\text{नई चाल } = x + 5 \quad \text{और समय } t - 1 \text{ घंटा }$ $\frac{360}{x} - \frac{360}{x + 5} = 1$

इसे हल करने पर $x = 40$ km/h मिलता है।

---

सवाल 9:

दो नल के समयों को ज्ञात करना है जो एक हौज को भरते हैं।

समाधान:

मान लेते हैं छोटे नल का समय $x$ घंटे है और बड़े नल का $x - 10$ घंटे।

हमें दिया गया है कि दोनों मिलकर 8 घंटे में हौज भरते हैं: $\frac{1}{x} + \frac{1}{x - 10} = \frac{1}{8}$

इसे हल करने पर: $x = 20 \quad \text{(छोटा नल)}, \quad x - 10 = 10 \quad \text{(बड़ा नल)}$

---

क्या आप इनमें से किसी सवाल का विस्तार चाहते हैं?

संबंधित प्रश्न:

1. दूसरे शब्दों में सवाल 5 को कैसे कहा जा सकता है?
2. विकर्ण के समीकरण को कैसे हल करें?
3. चतुर्भुजों में विकर्णों का महत्व क्या है?
4. रेलगाड़ी की चाल का फार्मूला क्या है?
5. जलधाराओं के प्रवाह के समीकरण कैसे बनते हैं?

सुझाव: अंकगणितीय समीकरणों को हल करने के लिए चरणबद्ध प्रक्रिया अपनाएं।