Una caja tiene menos de 60 caramelos. Si los repartiera entre 9 amigos, todos tendrian la misma cantidad. Pero si lo repartiera entre 11, sobraria un caramelo. Cuantos caramelos tiene la caja?

Para resolver este problema, debemos encontrar un número que satisfaga dos condiciones:
1. Es divisible por 9.
2. Deja un residuo de 1 cuando se divide entre 11.

Primero, representamos el número de caramelos como \( x \). Según las condiciones dadas:
- \( x \) es divisible por 9, por lo que podemos escribir: \( x = 9k \), donde \( k \) es un número entero.
- \( x \) deja un residuo de 1 cuando se divide entre 11, por lo que: \( x \equiv 1 \pmod{11} \).

Ahora, combinamos estas dos condiciones. Sabemos que:
\[ x = 9k \]
\[ 9k \equiv 1 \pmod{11} \]

Queremos encontrar \( k \) tal que esta congruencia se cumpla. Calculamos los múltiplos de 9 y sus residuos módulo 11 hasta encontrar uno que sea congruente con 1:

- \( 9 \times 1 = 9 \equiv 9 \pmod{11} \)
- \( 9 \times 2 = 18 \equiv 7 \pmod{11} \)
- \( 9 \times 3 = 27 \equiv 5 \pmod{11} \)
- \( 9 \times 4 = 36 \equiv 3 \pmod{11} \)
- \( 9 \times 5 = 45 \equiv 1 \pmod{11} \)

Encontramos que \( 9 \times 5 \equiv 1 \pmod{11} \). Entonces, \( k = 5 + 11m \) para algún entero \( m \).

Entonces, el número de caramelos es:
\[ x = 9k = 9(5 + 11m) = 45 + 99m \]

Para \( m = 0 \):
\[ x = 45 \]

Verificamos si \( x = 45 \) cumple con la condición de tener menos de 60 caramelos. Sí, 45 es menor que 60.

Finalmente, la caja tiene 45 caramelos.

¿Deseas más detalles o tienes alguna pregunta?

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo se resuelven congruencias lineales en general?
2. ¿Qué es el algoritmo de congruencia y cómo se aplica?
3. ¿Cómo se determinan los números primos en un rango dado?
4. ¿Qué otras aplicaciones tienen los residuos en teoría de números?
5. ¿Qué métodos existen para resolver sistemas de congruencias?
6. ¿Cómo influye el teorema chino del resto en la solución de problemas de este tipo?
7. ¿Cuáles son algunas propiedades interesantes de los números modulares?
8. ¿Cómo se puede utilizar la divisibilidad para resolver problemas de ecuaciones?

### Tip:
Para resolver problemas de congruencias, es útil familiarizarse con los múltiplos y restos de números pequeños. Esto permite verificar rápidamente posibles soluciones.

Learn how to solve a problem involving the distribution of candies among friends using modular arithmetic. The solution includes finding a number that satisfies divisibility by 9 and leaves a remainder of 1 when divided by 11. Suitable for students in Grades 7-9.

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