Para resolver este problema, debemos encontrar un número que satisfaga dos condiciones:

1. Es divisible por 9.
2. Deja un residuo de 1 cuando se divide entre 11.

Primero, representamos el número de caramelos como $x$. Según las condiciones dadas:

• $x$ es divisible por 9, por lo que podemos escribir: $x = 9k$, donde $k$ es un número entero.
• $x$ deja un residuo de 1 cuando se divide entre 11, por lo que: $x \equiv 1 \pmod{11}$.

Ahora, combinamos estas dos condiciones. Sabemos que: $x = 9k$ $9k \equiv 1 \pmod{11}$

Queremos encontrar $k$ tal que esta congruencia se cumpla. Calculamos los múltiplos de 9 y sus residuos módulo 11 hasta encontrar uno que sea congruente con 1:

• $9 \times 1 = 9 \equiv 9 \pmod{11}$
• $9 \times 2 = 18 \equiv 7 \pmod{11}$
• $9 \times 3 = 27 \equiv 5 \pmod{11}$
• $9 \times 4 = 36 \equiv 3 \pmod{11}$
• $9 \times 5 = 45 \equiv 1 \pmod{11}$

Encontramos que $9 \times 5 \equiv 1 \pmod{11}$. Entonces, $k = 5 + 11m$ para algún entero $m$.

Entonces, el número de caramelos es: $x = 9k = 9(5 + 11m) = 45 + 99m$

Para $m = 0$: $x = 45$

Verificamos si $x = 45$ cumple con la condición de tener menos de 60 caramelos. Sí, 45 es menor que 60.

Finalmente, la caja tiene 45 caramelos.

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Tip:

Para resolver problemas de congruencias, es útil familiarizarse con los múltiplos y restos de números pequeños. Esto permite verificar rápidamente posibles soluciones.