Bestäm först för vilka värden på konstanterna a och b ekvationssystemet har oändligt

många lösningar. Bestäm sedan dessa lösningar.

2x + y − 4z = −2

x − 3y − 9z = 6

x + ay + bz = −2

Vi har ett ekvationssystem med tre ekvationer och tre variabler \( x \), \( y \), och \( z \):

\[
1. \, 2x + y - 4z = -2
\]
\[
2. \, x - 3y - 9z = 6
\]
\[
3. \, x + ay + bz = -2
\]

För att systemet ska ha **oändligt många lösningar** måste ekvationerna vara **beroende**, det vill säga någon ekvation ska kunna uttryckas som en linjärkombination av de andra två. Vi ska nu undersöka under vilka villkor på konstanterna \( a \) och \( b \) detta inträffar.

### Steg 1: Ställ upp systemet i matrisform
Vi kan representera systemet som en utökad matris:

\[
\begin{pmatrix}
2 & 1 & -4 & | & -2 \\
1 & -3 & -9 & | & 6 \\
1 & a & b & | & -2
\end{pmatrix}
\]

### Steg 2: Radoperationer och villkor för oändligt många lösningar
Vi utför radoperationer för att förenkla matrisen till reducerad trappstegsform.

1. **R1** är redan i bra form, vi lämnar den oförändrad.
2. Dra av \( \frac{1}{2} \) av första raden från andra raden för att eliminera \( x \)-termen i andra raden:
   \[
   R2 \leftarrow R2 - \frac{1}{2} R1
   \]
   Detta ger:
   \[
   \begin{pmatrix}
   2 & 1 & -4 & | & -2 \\
   0 & -\frac{7}{2} & -7 & | & 7 \\
   1 & a & b & | & -2
   \end{pmatrix}
   \]

3. Dra av första raden från tredje raden för att eliminera \( x \)-termen i tredje raden:
   \[
   R3 \leftarrow R3 - \frac{1}{2} R1
   \]
   Detta ger:
   \]:


Bestäm först för vilka värden på konstanterna a och b ekvationssystemet har oändligt många lösningar. Bestäm sedan dessa lösningar. 2x + y − 4z = −2, x − 3y − 9z = 6, x + ay + bz = −2

Find the values of constants a and b that make the given system of linear equations have infinite solutions. Learn step-by-step how to use row reduction and identify linear dependence in systems of equations. Suitable for Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation