Vi har ett ekvationssystem med tre ekvationer och tre variabler $x$, $y$, och $z$:

$1. \, 2x + y - 4z = -2$ $2. \, x - 3y - 9z = 6$ $3. \, x + ay + bz = -2$

För att systemet ska ha oändligt många lösningar måste ekvationerna vara beroende, det vill säga någon ekvation ska kunna uttryckas som en linjärkombination av de andra två. Vi ska nu undersöka under vilka villkor på konstanterna $a$ och $b$ detta inträffar.

Steg 1: Ställ upp systemet i matrisform

Vi kan representera systemet som en utökad matris:

2 & 1 & -4 & | & -2 \\ 1 & -3 & -9 & | & 6 \\ 1 & a & b & | & -2 \end{pmatrix}$$ ### Steg 2: Radoperationer och villkor för oändligt många lösningar Vi utför radoperationer för att förenkla matrisen till reducerad trappstegsform. 1. **R1** är redan i bra form, vi lämnar den oförändrad. 2. Dra av $$\frac{1}{2}$$ av första raden från andra raden för att eliminera $$x$$-termen i andra raden: $$R2 \leftarrow R2 - \frac{1}{2} R1$$ Detta ger: $$\begin{pmatrix} 2 & 1 & -4 & | & -2 \\ 0 & -\frac{7}{2} & -7 & | & 7 \\ 1 & a & b & | & -2 \end{pmatrix}$$ 3. Dra av första raden från tredje raden för att eliminera $$x$$-termen i tredje raden: $$R3 \leftarrow R3 - \frac{1}{2} R1$$ Detta ger: \]: