我们需要解决一个极限问题，条件是：

$\lim_{x \to +\infty} \left( (ax + b)e^{\frac{1}{x}} - x \right) = 2$

解题步骤

1. 展开 $e^{\frac{1}{x}}$ 的泰勒展开： 当 $x \to +\infty$，我们知道 $\frac{1}{x} \to 0$，因此可以对 $e^{\frac{1}{x}}$ 进行泰勒展开：

   $e^{\frac{1}{x}} \approx 1 + \frac{1}{x}, \quad \text{忽略高阶项}$

   将其代入原式：

   $(ax + b)e^{\frac{1}{x}} - x \approx (ax + b)\left(1 + \frac{1}{x}\right) - x$

2. 化简表达式： 展开括号后得到：

   $(ax + b)\left(1 + \frac{1}{x}\right) = ax + b + \frac{a}{x}x + \frac{b}{x} = ax + b + a + \frac{b}{x}$

   因此，原式可以化简为：

   $ax + b + a + \frac{b}{x} - x$

   整理后：

   $ax - x + b + a + \frac{b}{x} = (a - 1)x + b + a + \frac{b}{x}$

3. 分析极限条件： 根据题目条件，当 $x \to +\infty$ 时，上式趋向于 2。我们分别分析 $x$-相关项和常数项：

   • $(a - 1)x$： 为了使整个表达式与 $x$ 无关，必须有 $a - 1 = 0$，即：

     $a = 1$

   • 常数项： 在 $a = 1$ 的情况下，上式变为：

     $b + a = b + 1$

     根据题目 $\lim_{x \to +\infty}$ 的结果为 2，可知：

     $b + 1 = 2$

     解得：

     $b = 1$

4. 最终结果： $a = 1, \quad b = 1$

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验证过程

将 $a = 1, b = 1$ 代入原式：

$\lim_{x \to +\infty} \left( (x + 1)e^{\frac{1}{x}} - x \right)$

展开 $e^{\frac{1}{x}} \approx 1 + \frac{1}{x}$ 后：

$(x + 1)(1 + \frac{1}{x}) - x = x + 1 + 1 + \frac{1}{x} - x = 2 + \frac{1}{x}$

当 $x \to +\infty$ 时，$\frac{1}{x} \to 0$，结果为：

$\lim_{x \to +\infty} = 2$

与题意相符，解答正确。

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有疑问吗？这里是几个相关问题：

1. 为什么需要对 $e^{1/x}$ 进行泰勒展开？
2. 如果极限结果是其他值，例如 $3$，是否会影响 $a$ 和 $b$ 的值？
3. 如果题目变为 $x \to -\infty$，会发生什么变化？
4. 对于更复杂的函数 $(ax+b)e^{g(x)}$，如何处理？
5. 怎样用更严谨的数学语言书写完整解答？

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小提示

在解答涉及极限的问题时，泰勒展开是一种常用而强大的工具，尤其是在函数趋于无穷大或零时使用！