e 1 x 2 − 1 ln ( x + 1 ) − ln x + 1 2 x 2

Рассмотрим данный предел:

$\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{e^{\frac{1}{x^2}} - 1}{\ln(x+1) - \ln x + \frac{1}{2x^2}}$

Шаг 1: Разложение числителя

Используем разложение экспоненты в ряд Тейлора:

$e^y \approx 1 + y + \frac{y^2}{2} + o(y^2), \quad \text{при } y \to 0.$

Подставим $y = \frac{1}{x^2}$:

$e^{\frac{1}{x^2}} \approx 1 + \frac{1}{x^2} + \frac{1}{2x^4} + o\left(\frac{1}{x^4}\right).$

Тогда числитель:

$e^{\frac{1}{x^2}} - 1 = \frac{1}{x^2} + \frac{1}{2x^4} + o\left(\frac{1}{x^4}\right).$

Шаг 2: Разложение знаменателя

Используем разложение логарифма:

$\ln(1 + y) \approx y - \frac{y^2}{2} + o(y^2), \quad \text{при } y \to 0.$

При $x \to +\infty$ малый параметр $y$ у нас:

$\ln(x+1) - \ln x = \ln \left( 1 + \frac{1}{x} \right) \approx \frac{1}{x} - \frac{1}{2x^2} + o\left(\frac{1}{x^2}\right).$

Добавляем $\frac{1}{2x^2}$:

$\ln(x+1) - \ln x + \frac{1}{2x^2} \approx \frac{1}{x}.$

Шаг 3: Вычисление предела

Имеем:

$\frac{e^{\frac{1}{x^2}} - 1}{\ln(x+1) - \ln x + \frac{1}{2x^2}} = \frac{\frac{1}{x^2} + \frac{1}{2x^4} + o\left(\frac{1}{x^4}\right)}{\frac{1}{x}}.$

Делим числитель и знаменатель на $\frac{1}{x}$:

$\frac{\frac{1}{x^2} + o\left(\frac{1}{x^2}\right)}{\frac{1}{x}} = \frac{1}{x}.$

Следовательно,

$\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{e^{\frac{1}{x^2}} - 1}{\ln(x+1) - \ln x + \frac{1}{2x^2}} = 0.$

Ответ: $0$.

---

Хотите подробные объяснения или примеры?

Вот 5 похожих вопросов:

1. Найдите предел $\lim\limits_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2}$.
2. Вычислите предел $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3}$.
3. Разложите функцию $\ln(1 + x)$ в ряд Тейлора до второго порядка.
4. Найдите предел $\lim\limits_{x \to \infty} x(e^{1/x} - 1)$.
5. Доказать с помощью ряда Маклорена, что $\lim\limits_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x^2} = -\frac{1}{2}$.

Совет:

При вычислении пределов с малыми параметрами используйте разложения в ряд Тейлора, это значительно упрощает анализ.