Рассмотрим неравенство:

$\sqrt{2x - 1} < x - 2$

Шаг 1: Определим область допустимых значений.

Для того чтобы выражение $\sqrt{2x - 1}$ было определено, подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$2x - 1 \geq 0$

Решим это неравенство:

$2x \geq 1 \quad \Rightarrow \quad x \geq \frac{1}{2}$

Таким образом, $x \geq \frac{1}{2}$.

Шаг 2: Решим неравенство.

Теперь перейдем к решению самого неравенства $\sqrt{2x - 1} < x - 2$.

Для этого возведем обе части неравенства в квадрат, но при этом нужно учесть, что возведение в квадрат может добавить дополнительные решения, поэтому будем проверять их на предмет удовлетворения исходному неравенству.

$(\sqrt{2x - 1})^2 < (x - 2)^2$ $2x - 1 < (x - 2)^2$

Раскроем скобки на правой части:

$2x - 1 < x^2 - 4x + 4$

Переносим все в одну сторону:

$0 < x^2 - 6x + 5$

Или

$x^2 - 6x + 5 > 0$

Шаг 3: Решим квадратное неравенство.

Решим квадратное неравенство $x^2 - 6x + 5 > 0$. Сначала находим корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 6x + 5 = 0$:

$x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$ $x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2}$ $x = \frac{6 \pm \sqrt{16}}{2}$ $x = \frac{6 \pm 4}{2}$

Корни уравнения: $x = 5$ и $x = 1$.

Теперь анализируем знак выражения $x^2 - 6x + 5$ на интервалах, которые определяются этими корнями: $(-\infty, 1)$, $(1, 5)$, и $(5, \infty)$.

• При $x < 1$ (например, $x = 0$): $0^2 - 6(0) + 5 = 5 > 0$.
• При $1 < x < 5$ (например, $x = 3$): $3^2 - 6(3) + 5 = 9 - 18 + 5 = -4 < 0$.
• При $x > 5$ (например, $x = 6$): $6^2 - 6(6) + 5 = 36 - 36 + 5 = 5 > 0$.

Таким образом, неравенство $x^2 - 6x + 5 > 0$ выполняется на интервалах $(-\infty, 1) \cup (5, \infty)$.

Шаг 4: Совместим области определения и решения.

Не забываем, что для исходного выражения $\sqrt{2x - 1}$ должно быть выполнено условие $x \geq \frac{1}{2}$, а также $x - 2 > 0$ (так как мы возводили обе части неравенства в квадрат, и правая часть не может быть отрицательной).

Таким образом, из условия $x - 2 > 0$ следует, что $x > 2$.

Совмещаем все ограничения:

1. $x \geq \frac{1}{2}$ (область допустимых значений для подкоренного выражения),
2. $x > 2$ (чтобы правая часть была положительной).

Таким образом, окончательное решение: $x \in (5, \infty)$.

Ответ:

Решением неравенства $\sqrt{2x - 1} < x - 2$ является:

$x \in (5, \infty)$

---

Если вам нужно больше деталей по решению или дополнительное объяснение, не стесняйтесь спросить! Вот пять вопросов, которые могут помочь расширить знания:

1. Как бы изменился ответ, если бы у нас было неравенство $\sqrt{2x - 1} \leq x - 2$?
2. Что происходит, если мы рассматриваем другие методы решения иррациональных неравенств, например, графически?
3. Как можно использовать свойства квадратных неравенств для более быстрого решения подобных задач?
4. Какие дополнительные условия могут быть наложены на исходные выражения для других типов иррациональных неравенств?
5. Как связаны области определения и области решения неравенств для рациональных и иррациональных выражений?

Совет: При решении иррациональных неравенств всегда проверяйте, не добавили ли вы лишние корни при возведении обеих частей в квадрат.