come risolvo \sqrt{2x-x^2}-\left|x-2\right|=0?

Per risolvere l'equazione \(\sqrt{2x - x^2} - \left|x - 2\right| = 0\), segui questi passaggi:

### 1. Isolare la radice quadrata e il valore assoluto
Scriviamo l'equazione come:
\[
\sqrt{2x - x^2} = \left|x - 2\right|
\]
Dato che entrambe le espressioni sono sempre non negative (la radice quadrata è definita per valori non negativi e il valore assoluto è sempre non negativo), possiamo procedere prendendo in considerazione le diverse definizioni del valore assoluto.

### 2. Risolvere separatamente per i due casi del valore assoluto
Il valore assoluto \(\left|x - 2\right|\) ha due casi distinti:

- **Caso 1**: \(x - 2 \geq 0 \Rightarrow \left|x - 2\right| = x - 2\) (cioè \(x \geq 2\))
- **Caso 2**: \(x - 2 < 0 \Rightarrow \left|x - 2\right| = -(x - 2)\) (cioè \(x < 2\))

Ora risolviamo l'equazione per entrambi i casi.

### Caso 1: \(x \geq 2\)
L'equazione diventa:
\[
\sqrt{2x - x^2} = x - 2
\]
Eleviamo entrambi i lati al quadrato per eliminare la radice quadrata:
\[
2x - x^2 = (x - 2)^2
\]
Sviluppiamo il quadrato a destra:
\[
2x - x^2 = x^2 - 4x + 4
\]
Portiamo tutti i termini a un solo lato:
\[
2x - x^2 - x^2 + 4x - 4 = 0
\]
Semplifichiamo:
\[
-2x^2 + 6x - 4 = 0
\]
Dividiamo tutto per \(-2\):
\[
x^2 - 3x + 2 = 0
\]
Fattorizziamo il trinomio:
\[
(x - 1)(x - 2) = 0
\]
Da qui, abbiamo due soluzioni:
\[
x = 1 \quad \text{oppure} \quad x = 2
\]
Tuttavia, per il caso 1, richiediamo che \(x \geq 2\), quindi la soluzione valida in questo caso è:
\[
x = 2
\]

### Caso 2: \(x < 2\)
L'equazione diventa:
\[
\sqrt{2x - x^2} = -(x - 2)
\]
Questo si semplifica a:
\[
\sqrt{2x - x^2} = 2 - x
\]
Eleviamo nuovamente entrambi i lati al quadrato:
\[
2x - x^2 = (2 - x)^2
\]
Sviluppiamo il quadrato a destra:
\[
2x - x^2 = 4 - 4x + x^2
\]
Portiamo tutto a un solo lato:
\[
2x - x^2 - 4 + 4x - x^2 = 0
\]
Semplifichiamo:
\[
-2x^2 + 6x - 4 = 0
\]
Come nel caso precedente, dividiamo per \(-2\):
\[
x^2 - 3x + 2 = 0
\]
Fattorizziamo:
\[
(x - 1)(x - 2) = 0
\]
Le soluzioni sono:
\[
x = 1 \quad \text{oppure} \quad x = 2
\]
In questo caso, dato che \(x < 2\), la soluzione valida è:
\[
x = 1
\]

### 3. Conclusione
Le soluzioni dell'equazione sono:
\[
x = 1 \quad \text{e} \quad x = 2
\]

Hai altre domande o vuoi approfondimenti su qualche passaggio?

Ecco 5 domande relative:
1. Come si risolvono le equazioni con radici quadrate?
2. Come si trattano i valori assoluti nelle equazioni?
3. Qual è il metodo generale per risolvere equazioni quadrate?
4. Cosa accade se il radicando è negativo?
5. Come posso verificare le soluzioni ottenute?

**Tip**: Quando risolvi equazioni con valori assoluti, ricordati sempre di considerare i diversi casi possibili.

This guide explains how to solve the equation \sqrt{2x - x^2} - |x - 2| = 0, covering key algebraic concepts such as square roots, absolute values, and quadratic equations. The detailed solution includes isolating the square root and considering the cases of the absolute value. Suitable for students in Grades 10-12.

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