Per risolvere l'equazione $\sqrt{2x - x^2} - \left|x - 2\right| = 0$, segui questi passaggi:

1. Isolare la radice quadrata e il valore assoluto

Scriviamo l'equazione come: $\sqrt{2x - x^2} = \left|x - 2\right|$ Dato che entrambe le espressioni sono sempre non negative (la radice quadrata è definita per valori non negativi e il valore assoluto è sempre non negativo), possiamo procedere prendendo in considerazione le diverse definizioni del valore assoluto.

2. Risolvere separatamente per i due casi del valore assoluto

Il valore assoluto $\left|x - 2\right|$ ha due casi distinti:

• Caso 1: $x - 2 \geq 0 \Rightarrow \left|x - 2\right| = x - 2$ (cioè $x \geq 2$)
• Caso 2: $x - 2 < 0 \Rightarrow \left|x - 2\right| = -(x - 2)$ (cioè $x < 2$)

Ora risolviamo l'equazione per entrambi i casi.

Caso 1: $x \geq 2$

L'equazione diventa: $\sqrt{2x - x^2} = x - 2$ Eleviamo entrambi i lati al quadrato per eliminare la radice quadrata: $2x - x^2 = (x - 2)^2$ Sviluppiamo il quadrato a destra: $2x - x^2 = x^2 - 4x + 4$ Portiamo tutti i termini a un solo lato: $2x - x^2 - x^2 + 4x - 4 = 0$ Semplifichiamo: $-2x^2 + 6x - 4 = 0$ Dividiamo tutto per $-2$: $x^2 - 3x + 2 = 0$ Fattorizziamo il trinomio: $(x - 1)(x - 2) = 0$ Da qui, abbiamo due soluzioni: $x = 1 \quad \text{oppure} \quad x = 2$ Tuttavia, per il caso 1, richiediamo che $x \geq 2$, quindi la soluzione valida in questo caso è: $x = 2$

Caso 2: $x < 2$

L'equazione diventa: $\sqrt{2x - x^2} = -(x - 2)$ Questo si semplifica a: $\sqrt{2x - x^2} = 2 - x$ Eleviamo nuovamente entrambi i lati al quadrato: $2x - x^2 = (2 - x)^2$ Sviluppiamo il quadrato a destra: $2x - x^2 = 4 - 4x + x^2$ Portiamo tutto a un solo lato: $2x - x^2 - 4 + 4x - x^2 = 0$ Semplifichiamo: $-2x^2 + 6x - 4 = 0$ Come nel caso precedente, dividiamo per $-2$: $x^2 - 3x + 2 = 0$ Fattorizziamo: $(x - 1)(x - 2) = 0$ Le soluzioni sono: $x = 1 \quad \text{oppure} \quad x = 2$ In questo caso, dato che $x < 2$, la soluzione valida è: $x = 1$

3. Conclusione

Le soluzioni dell'equazione sono: $x = 1 \quad \text{e} \quad x = 2$

Hai altre domande o vuoi approfondimenti su qualche passaggio?

Ecco 5 domande relative:

1. Come si risolvono le equazioni con radici quadrate?
2. Come si trattano i valori assoluti nelle equazioni?
3. Qual è il metodo generale per risolvere equazioni quadrate?
4. Cosa accade se il radicando è negativo?
5. Come posso verificare le soluzioni ottenute?

Tip: Quando risolvi equazioni con valori assoluti, ricordati sempre di considerare i diversi casi possibili.