¡Gracias por compartir la imagen! El problema nos pide resolver la desigualdad compuesta:

$0 < \frac{5}{|x-1|} < 3$

Voy a resolverlo paso a paso explicándolo desde los conceptos básicos para que sea fácil de entender.

Paso 1: Entender la desigualdad

La desigualdad tiene dos partes:

1. $\frac{5}{|x-1|} > 0$: Esto significa que el valor de $\frac{5}{|x-1|}$ debe ser mayor que 0.
2. $\frac{5}{|x-1|} < 3$: Esto significa que el valor de $\frac{5}{|x-1|}$ debe ser menor que 3.

Ambas condiciones deben cumplirse al mismo tiempo.

El símbolo $|x-1|$ representa el valor absoluto de $x-1$. El valor absoluto mide la distancia de un número al 0, por lo que siempre es positivo o igual a 0.

Por ejemplo:

• Si $x-1 = 2$, entonces $|x-1| = 2$.
• Si $x-1 = -3$, entonces $|x-1| = 3$.

Paso 2: Resolver la primera parte ($0 < \frac{5}{|x-1|}$)

Para que $\frac{5}{|x-1|}$ sea mayor que 0, necesitamos que $|x-1| > 0$, porque dividir por un número negativo no es permitido. Esto significa que:

$x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1$

Entonces, $x = 1$ no puede ser parte de la solución.

Paso 3: Resolver la segunda parte ($\frac{5}{|x-1|} < 3$)

Esta parte requiere un poco más de trabajo. Vamos a resolverla paso a paso:

1. Primero, elimina la fracción multiplicando ambos lados de la desigualdad por $|x-1|$. Esto es válido siempre que $|x-1| > 0$, lo cual ya sabemos (porque $x \neq 1$):

   $5 < 3|x-1|$

2. Ahora divide ambos lados entre 3 para despejar el valor absoluto:

   $\frac{5}{3} < |x-1|$

Esto significa que el valor absoluto de $x-1$ debe ser mayor que $\frac{5}{3}$.

Paso 4: Interpretar el valor absoluto

La desigualdad $|x-1| > \frac{5}{3}$ implica que la distancia entre $x$ y $1$ es mayor que $\frac{5}{3}$. Esto se traduce en dos desigualdades:

1. $x - 1 > \frac{5}{3}$, que da: $x > 1 + \frac{5}{3} = \frac{8}{3}$

2. $x - 1 < -\frac{5}{3}$, que da: $x < 1 - \frac{5}{3} = -\frac{2}{3}$

Paso 5: Combinar resultados

De los pasos anteriores:

1. $x$ no puede ser igual a $1$.
2. $x$ debe ser menor que $-\frac{2}{3}$ o mayor que $\frac{8}{3}$.

Por lo tanto, la solución es:

$x \in (-\infty, -\frac{2}{3}) \cup (\frac{8}{3}, \infty)$

Conclusión final

El conjunto solución incluye todos los valores de $x$ que están fuera del intervalo $[-\frac{2}{3}, \frac{8}{3}]$, excluyendo $x = 1$.

¿Te gustaría más detalles o ejemplos sobre algún paso? Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Qué es el valor absoluto y cómo se interpreta en diferentes contextos?
2. ¿Cómo resolver desigualdades con fracciones como $\frac{5}{|x-1|}$?
3. ¿Qué significa la combinación de intervalos en $(- \infty, -\frac{2}{3}) \cup (\frac{8}{3}, \infty)$?
4. ¿Cómo se aplica la multiplicación por $|x-1|$ en desigualdades?
5. ¿Cómo representar gráficamente esta solución?

Tip: Siempre revisa si hay restricciones (como valores prohibidos) antes de resolver desigualdades. ¡Es un paso clave!