Déterminer le couple a et b tel que a<b: PGCD(a;b)=48 et ab=13824

Nous avons deux informations pour résoudre ce problème :

1. \( \text{PGCD}(a, b) = 48 \)
2. \( ab = 13824 \)

### Étapes pour résoudre le problème :

1. **Utiliser la propriété du PGCD et du PPCM :**
   On sait que pour deux nombres \( a \) et \( b \), il existe une relation entre leur PGCD, leur PPCM et leur produit :
   \[
   a \times b = \text{PGCD}(a, b) \times \text{PPCM}(a, b)
   \]
   Ici, on a :
   \[
   ab = 48 \times \text{PPCM}(a, b)
   \]
   Donc :
   \[
   13824 = 48 \times \text{PPCM}(a, b)
   \]
   En divisant les deux côtés par 48, on obtient :
   \[
   \text{PPCM}(a, b) = \frac{13824}{48} = 288
   \]

2. **Déterminer les valeurs de \( a \) et \( b \) :**
   Maintenant que nous connaissons le PGCD et le PPCM, nous utilisons les propriétés suivantes :
   \[
   a = \text{PGCD}(a, b) \times m \quad \text{et} \quad b = \text{PGCD}(a, b) \times n
   \]
   avec \( m \) et \( n \) étant deux nombres premiers entre eux, donc \( \text{PGCD}(m, n) = 1 \), et \( \text{PPCM}(m, n) = m \times n \).

   Comme \( \text{PPCM}(a, b) = 288 \), nous avons :
   \[
   m \times n = 288
   \]
   Nous devons donc trouver deux nombres premiers entre eux \( m \) et \( n \) tels que \( m \times n = 288 \).

   Les couples de facteurs de 288 sont :
   \[
   (1, 288), (2, 144), (3, 96), (4, 72), (6, 48), (8, 36), (9, 32), (12, 24), (16, 18)
   \]
   Parmi ces couples, les seuls premiers entre eux sont \( (9, 32) \).

3. **Calcul des valeurs de \( a \) et \( b \) :**
   Ainsi, \( m = 9 \) et \( n = 32 \). Donc :
   \[
   a = 48 \times 9 = 432 \quad \text{et} \quad b = 48 \times 32 = 1536
   \]

   Le couple \( a = 432 \) et \( b = 1536 \) vérifie bien \( a < b \), \( \text{PGCD}(a, b) = 48 \) et \( ab = 13824 \).

### Réponse :
Le couple \( (a, b) \) est \( (432, 1536) \).

---

Voulez-vous plus de détails sur les calculs ou avez-vous des questions ?

Voici 5 questions pour approfondir :

1. Comment factoriser 288 pour trouver les nombres premiers entre eux ?
2. Quelle est la relation exacte entre le PGCD et le PPCM ?
3. Quels sont les autres couples possibles de nombres qui vérifient \( ab = 13824 \) sans la contrainte du PGCD ?
4. Comment vérifier si deux nombres sont premiers entre eux ?
5. Qu'est-ce que le PPCM et pourquoi est-il utile dans ce genre de problème ?

**Tip** : Pour résoudre des problèmes impliquant le PGCD et le PPCM, il est souvent utile d'utiliser les relations entre ces deux concepts pour simplifier les calculs.

Déterminer le couple a et b tel que a < b : PGCD(a, b) = 48 et ab = 13824

Learn how to determine the pair of numbers a and b such that PGCD(a, b) = 48 and their product ab = 13824. This problem covers key number theory concepts like GCD, LCM, and factorization, suitable for students in Grades 9-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation