Nous avons deux informations pour résoudre ce problème :

1. $\text{PGCD}(a, b) = 48$
2. $ab = 13824$

Étapes pour résoudre le problème :

1. Utiliser la propriété du PGCD et du PPCM : On sait que pour deux nombres $a$ et $b$, il existe une relation entre leur PGCD, leur PPCM et leur produit : $a \times b = \text{PGCD}(a, b) \times \text{PPCM}(a, b)$ Ici, on a : $ab = 48 \times \text{PPCM}(a, b)$ Donc : $13824 = 48 \times \text{PPCM}(a, b)$ En divisant les deux côtés par 48, on obtient : $\text{PPCM}(a, b) = \frac{13824}{48} = 288$

2. Déterminer les valeurs de $a$ et $b$ : Maintenant que nous connaissons le PGCD et le PPCM, nous utilisons les propriétés suivantes : $a = \text{PGCD}(a, b) \times m \quad \text{et} \quad b = \text{PGCD}(a, b) \times n$ avec $m$ et $n$ étant deux nombres premiers entre eux, donc $\text{PGCD}(m, n) = 1$, et $\text{PPCM}(m, n) = m \times n$.

   Comme $\text{PPCM}(a, b) = 288$, nous avons : $m \times n = 288$ Nous devons donc trouver deux nombres premiers entre eux $m$ et $n$ tels que $m \times n = 288$.

   Les couples de facteurs de 288 sont : $(1, 288), (2, 144), (3, 96), (4, 72), (6, 48), (8, 36), (9, 32), (12, 24), (16, 18)$ Parmi ces couples, les seuls premiers entre eux sont $(9, 32)$.

3. Calcul des valeurs de $a$ et $b$ : Ainsi, $m = 9$ et $n = 32$. Donc : $a = 48 \times 9 = 432 \quad \text{et} \quad b = 48 \times 32 = 1536$

   Le couple $a = 432$ et $b = 1536$ vérifie bien $a < b$, $\text{PGCD}(a, b) = 48$ et $ab = 13824$.

Réponse :

Le couple $(a, b)$ est $(432, 1536)$.

---

Voulez-vous plus de détails sur les calculs ou avez-vous des questions ?

Voici 5 questions pour approfondir :

1. Comment factoriser 288 pour trouver les nombres premiers entre eux ?
2. Quelle est la relation exacte entre le PGCD et le PPCM ?
3. Quels sont les autres couples possibles de nombres qui vérifient $ab = 13824$ sans la contrainte du PGCD ?
4. Comment vérifier si deux nombres sont premiers entre eux ?
5. Qu'est-ce que le PPCM et pourquoi est-il utile dans ce genre de problème ?

Tip : Pour résoudre des problèmes impliquant le PGCD et le PPCM, il est souvent utile d'utiliser les relations entre ces deux concepts pour simplifier les calculs.