Tìm tất cả các hàm số f : R → R thoả mãn
 f(x +y)+f(x−y) = f(x)+2f(y)+x2∀x,y ∈ R

Chúng ta cần tìm tất cả các hàm số \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) thoả mãn phương trình hàm sau:

\[
f(x + y) + f(x - y) = f(x) + 2f(y) + x^2 \quad \forall x, y \in \mathbb{R}
\]

### Bước 1: Đặt \( y = 0 \)
Thay \( y = 0 \) vào phương trình:

\[
f(x + 0) + f(x - 0) = f(x) + 2f(0) + x^2
\]

\[
2f(x) = f(x) + 2f(0) + x^2
\]

\[
f(x) = 2f(0) + x^2
\]

Đặt \( f(0) = c \), ta có:

\[
f(x) = c + \frac{x^2}{2}
\]

### Bước 2: Kiểm tra lại hàm \( f(x) \) này với phương trình ban đầu

Thay \( f(x) = c + \frac{x^2}{2} \) vào phương trình gốc:

\[
f(x + y) + f(x - y) = \left(c + \frac{(x+y)^2}{2}\right) + \left(c + \frac{(x-y)^2}{2}\right)
\]

\[
f(x) + 2f(y) + x^2 = \left(c + \frac{x^2}{2}\right) + 2\left(c + \frac{y^2}{2}\right) + x^2
\]

Xét vế trái:

\[
f(x + y) + f(x - y) = \frac{(x+y)^2}{2} + \frac{(x-y)^2}{2} + 2c
\]

\[
= \frac{x^2 + 2xy + y^2 + x^2 - 2xy + y^2}{2} + 2c
\]

\[
= \frac{2x^2 + 2y^2}{2} + 2c = x^2 + y^2 + 2c
\]

Xét vế phải:

\[
f(x) + 2f(y) + x^2 = \frac{x^2}{2} + 2\left(\frac{y^2}{2} + c\right) + x^2
\]

\[
= \frac{x^2}{2} + y^2 + 2c + x^2 = \frac{3x^2}{2} + y^2 + 2c
\]

Vế trái và vế phải giống nhau, do đó hàm số \( f(x) = c + \frac{x^2}{2} \) là nghiệm của phương trình.

### Kết luận
Các hàm số \( f(x) = c + \frac{x^2}{2} \), trong đó \( c \) là một hằng số tuỳ ý, đều thoả mãn phương trình hàm đã cho.

---

Bạn có muốn biết thêm chi tiết hoặc có câu hỏi nào không?  
Dưới đây là một số câu hỏi liên quan:

1. Nếu \( c = 0 \), hàm số \( f(x) \) có đặc điểm gì đặc biệt?
2. Làm thế nào để kiểm tra tính duy nhất của nghiệm của phương trình hàm?
3. Hàm số \( f(x) \) có đặc điểm gì khi \( c \) thay đổi?
4. Có phương pháp nào khác để giải phương trình hàm này không?
5. Hàm số \( f(x) = c + \frac{x^2}{2} \) có ứng dụng gì trong thực tế?

**Mẹo:** Khi giải phương trình hàm, việc thay giá trị đặc biệt như \( x = 0 \) hay \( y = 0 \) thường giúp đơn giản hóa và tìm ra nghiệm tiềm năng dễ dàng hơn.

Learn how to solve the functional equation f(x + y) + f(x - y) = f(x) + 2f(y) + x^2 with a detailed step-by-step solution. This problem explores functional equations and their applications in mathematics. Suitable for advanced mathematics enthusiasts.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation