Chúng ta cần tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thoả mãn phương trình hàm sau:

$f(x + y) + f(x - y) = f(x) + 2f(y) + x^2 \quad \forall x, y \in \mathbb{R}$

Bước 1: Đặt $y = 0$

Thay $y = 0$ vào phương trình:

$f(x + 0) + f(x - 0) = f(x) + 2f(0) + x^2$

$2f(x) = f(x) + 2f(0) + x^2$

$f(x) = 2f(0) + x^2$

Đặt $f(0) = c$, ta có:

$f(x) = c + \frac{x^2}{2}$

Bước 2: Kiểm tra lại hàm $f(x)$ này với phương trình ban đầu

Thay $f(x) = c + \frac{x^2}{2}$ vào phương trình gốc:

$f(x + y) + f(x - y) = \left(c + \frac{(x+y)^2}{2}\right) + \left(c + \frac{(x-y)^2}{2}\right)$

$f(x) + 2f(y) + x^2 = \left(c + \frac{x^2}{2}\right) + 2\left(c + \frac{y^2}{2}\right) + x^2$

Xét vế trái:

$f(x + y) + f(x - y) = \frac{(x+y)^2}{2} + \frac{(x-y)^2}{2} + 2c$

$= \frac{x^2 + 2xy + y^2 + x^2 - 2xy + y^2}{2} + 2c$

$= \frac{2x^2 + 2y^2}{2} + 2c = x^2 + y^2 + 2c$

Xét vế phải:

$f(x) + 2f(y) + x^2 = \frac{x^2}{2} + 2\left(\frac{y^2}{2} + c\right) + x^2$

$= \frac{x^2}{2} + y^2 + 2c + x^2 = \frac{3x^2}{2} + y^2 + 2c$

Vế trái và vế phải giống nhau, do đó hàm số $f(x) = c + \frac{x^2}{2}$ là nghiệm của phương trình.

Kết luận

Các hàm số $f(x) = c + \frac{x^2}{2}$, trong đó $c$ là một hằng số tuỳ ý, đều thoả mãn phương trình hàm đã cho.

---

Bạn có muốn biết thêm chi tiết hoặc có câu hỏi nào không?
Dưới đây là một số câu hỏi liên quan:

1. Nếu $c = 0$, hàm số $f(x)$ có đặc điểm gì đặc biệt?
2. Làm thế nào để kiểm tra tính duy nhất của nghiệm của phương trình hàm?
3. Hàm số $f(x)$ có đặc điểm gì khi $c$ thay đổi?
4. Có phương pháp nào khác để giải phương trình hàm này không?
5. Hàm số $f(x) = c + \frac{x^2}{2}$ có ứng dụng gì trong thực tế?

Mẹo: Khi giải phương trình hàm, việc thay giá trị đặc biệt như $x = 0$ hay $y = 0$ thường giúp đơn giản hóa và tìm ra nghiệm tiềm năng dễ dàng hơn.