معادلات را به روش تغییر متغیر و بر حسب c حل کن$$  $$

برای حل مسئله به روش تغییر متغیر و بر حسب $ C $، ابتدا فرض کنیم که:

\[
x = A + B + C, \quad y = 4A + 2B + C, \quad z = 9A + 3B + C, \quad w = 25A + 5B + C
\]

حال، شرایط مسئله که دنباله $ x, y, z, w $ باید یک دنباله هندسی باشد را بررسی می‌کنیم:

\[
\frac{y}{x} = \frac{z}{y} = \frac{w}{z}
\]

این شرایط منجر به دو معادله مستقل می‌شود:

\[
\frac{y}{x} = \frac{z}{y} \quad \text{و} \quad \frac{z}{y} = \frac{w}{z}
\]

هر کدام از این معادلات را جداگانه بررسی می‌کنیم. ابتدا معادله اول:

\[
\frac{y}{x} = \frac{z}{y}
\]

این معادله به شکل زیر درمی‌آید:

\[
\frac{4A + 2B + C}{A + B + C} = \frac{9A + 3B + C}{4A + 2B + C}
\]

حال هر طرف این معادله را به ترتیب ضرب می‌کنیم:

\[
(4A + 2B + C)^2 = (A + B + C)(9A + 3B + C)
\]

که گسترش آن به صورت زیر است:

\[
16A^2 + 16AB + 4B^2 + 8AC + 4BC + C^2 = 9A^2 + 12AB + 3B^2 + 9AC + 3BC + C^2
\]

حالا با ساده‌سازی:

\[
7A^2 + 4AB + B^2 - AC - 2BC = 0 \quad \text{(معادله اول)}
\]

حال معادله دوم:

\[
\frac{z}{y} = \frac{w}{z}
\]

این معادله به شکل زیر است:

\[
\frac{9A + 3B + C}{4A + 2B + C} = \frac{25A + 5B + C}{9A + 3B + C}
\]

با ضرب طرفین:

\[
(9A + 3B + C)^2 = (4A + 2B + C)(25A + 5B + C)
\]

با گسترش و ساده‌سازی مشابه:

\[
56A^2 + 42AB + 9B^2 + 18AC + 6BC = 100A^2 + 30AB + B^2 + 25AC + 5BC + C^2
\]

با ساده‌سازی:

\[
-44A^2 + 12AB + 8B^2 - 7AC + BC - C^2 = 0 \quad \text{(معادله دوم)}
\]

این دو معادله حاصل از شرط‌ها باید حل شوند. برای ساده‌تر کردن، اگر $ C $ را ثابت در نظر بگیریم (مثلاً $ C = 0 $)، می‌توانیم معادلات درجه دوم را نسبت به $ A $ و $ B $ حل کنیم.

آیا تمایل دارید محاسبات و مراحل بعدی را ادامه دهیم؟

---

### سوالات مرتبط:
1. چگونه می‌توان معادلات فوق را به روش ماتریسی حل کرد؟
2. آیا می‌توان دنباله‌هایی از درجات بالاتر را به روشی مشابه تحلیل کرد؟
3. چه تفاوتی بین دنباله‌های جبری و هندسی وجود دارد؟
4. چگونه تغییرات در $ C $ معادله را تحت تأثیر قرار می‌دهد؟
5. آیا دنباله‌های دیگری وجود دارند که با روش مشابه بتوان آن‌ها را تحلیل کرد؟

### نکته:
در حل مسائل جبری با روش‌های نمادین، استفاده از پارامترهای کمکی می‌تواند فرایند حل را ساده‌تر کند و به نتایج دقیقی دست یابید.

Learn how to solve equations using the change of variables method and the C method. Explore geometric sequences and quadratic equations in detail with step-by-step solutions and formulas. Suitable for advanced high school students and beyond.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation