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### Análisis del Problema:

Tienes un problema en el que necesitas resolver la ecuación:
\[
4^x + \frac{5}{2} - \frac{9}{2^{2x}} = 0
\]
y luego encontrar el valor de \( K = \sqrt{2a^2 + 2} \) donde \( \frac{1}{a} \) es una solución de la ecuación dada.

### Paso 1: Resolver la ecuación para encontrar \( x \)

Primero, trabajemos con la ecuación:
\[
4^x + \frac{5}{2} - \frac{9}{2^{2x}} = 0
\]
Podemos reescribir \( 4^x \) como \( (2^2)^x = (2^x)^2 \). Entonces, la ecuación se convierte en:
\[
(2^x)^2 + \frac{5}{2} - \frac{9}{(2^x)^2} = 0
\]

### Paso 2: Sustitución
Hacemos la sustitución \( y = 2^x \), entonces:
\[
y^2 + \frac{5}{2} - \frac{9}{y^2} = 0
\]
Multiplicamos toda la ecuación por \( 2y^2 \) para eliminar el denominador:
\[
2y^4 + 5y^2 - 18 = 0
\]
Hacemos una nueva sustitución \( z = y^2 \), entonces:
\[
2z^2 + 5z - 18 = 0
\]

### Paso 3: Resolver la ecuación cuadrática
Usamos la fórmula cuadrática para resolver:
\[
z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
Donde \( a = 2 \), \( b = 5 \), y \( c = -18 \). Entonces:
\[
z = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 144}}{4} = \frac{-5 \pm \sqrt{169}}{4} = \frac{-5 \pm 13}{4}
\]
Esto da:
\[
z = \frac{8}{4} = 2 \quad \text{o} \quad z = \frac{-18}{4} = -4.5
\]
El valor negativo no es válido porque \( z = y^2 \geq 0 \). Entonces, \( z = 2 \) y \( y^2 = 2 \), lo que significa \( y = \sqrt{2} \).

### Paso 4: Encontrar \( x \)
Dado que \( y = 2^x \) y \( y = \sqrt{2} \), entonces:
\[
2^x = \sqrt{2} = 2^{1/2}
\]
Por lo tanto, \( x = \frac{1}{2} \).

Como \( \frac{1}{a} = x = \frac{1}{2} \), se sigue que \( a = 2 \).

### Paso 5: Encontrar \( K \)
Finalmente, se nos pide encontrar el valor de \( K = \sqrt{2a^2 + 2} \):
\[
K = \sqrt{2(2)^2 + 2} = \sqrt{2(4) + 2} = \sqrt{8 + 2} = \sqrt{10}
\]
La opción más cercana en la lista dada (2, 4, 6, 1) sería:
- Aproximando \( \sqrt{10} \approx 3.16 \), lo más cercano a esta aproximación sería **B) 4**.

**Respuesta final: B) 4**

---

¿Tienes alguna duda o necesitas más detalles? Aquí tienes 8 preguntas relacionadas que podrías explorar:

1. ¿Cómo resolver ecuaciones cuadráticas usando la fórmula general?
2. ¿Cuáles son las propiedades de las raíces cuadradas?
3. ¿Cómo identificar las soluciones de una ecuación exponencial?
4. ¿Qué métodos alternativos existen para resolver ecuaciones exponenciales?
5. ¿Cómo simplificar expresiones con exponentes y raíces?
6. ¿Qué significa hacer sustituciones en ecuaciones complejas?
7. ¿Cómo se verifica si una solución es válida en el contexto de una ecuación?
8. ¿Cuál es la importancia de aproximar raíces cuadradas en problemas reales?

**Consejo:** Cuando trabajes con ecuaciones cuadráticas, siempre verifica las soluciones para asegurar que todas las condiciones se cumplan correctamente.

Learn how to solve complex exponential and quadratic equations with detailed step-by-step solutions. This problem covers exponential equations, quadratic formulas, and root calculations. Suitable for advanced high school students.

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