Análisis del Problema:

Tienes un problema en el que necesitas resolver la ecuación: $4^x + \frac{5}{2} - \frac{9}{2^{2x}} = 0$ y luego encontrar el valor de $K = \sqrt{2a^2 + 2}$ donde $\frac{1}{a}$ es una solución de la ecuación dada.

Paso 1: Resolver la ecuación para encontrar $x$

Primero, trabajemos con la ecuación: $4^x + \frac{5}{2} - \frac{9}{2^{2x}} = 0$ Podemos reescribir $4^x$ como $(2^2)^x = (2^x)^2$. Entonces, la ecuación se convierte en: $(2^x)^2 + \frac{5}{2} - \frac{9}{(2^x)^2} = 0$

Paso 2: Sustitución

Hacemos la sustitución $y = 2^x$, entonces: $y^2 + \frac{5}{2} - \frac{9}{y^2} = 0$ Multiplicamos toda la ecuación por $2y^2$ para eliminar el denominador: $2y^4 + 5y^2 - 18 = 0$ Hacemos una nueva sustitución $z = y^2$, entonces: $2z^2 + 5z - 18 = 0$

Paso 3: Resolver la ecuación cuadrática

Usamos la fórmula cuadrática para resolver: $z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ Donde $a = 2$, $b = 5$, y $c = -18$. Entonces: $z = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 144}}{4} = \frac{-5 \pm \sqrt{169}}{4} = \frac{-5 \pm 13}{4}$ Esto da: $z = \frac{8}{4} = 2 \quad \text{o} \quad z = \frac{-18}{4} = -4.5$ El valor negativo no es válido porque $z = y^2 \geq 0$. Entonces, $z = 2$ y $y^2 = 2$, lo que significa $y = \sqrt{2}$.

Paso 4: Encontrar $x$

Dado que $y = 2^x$ y $y = \sqrt{2}$, entonces: $2^x = \sqrt{2} = 2^{1/2}$ Por lo tanto, $x = \frac{1}{2}$.

Como $\frac{1}{a} = x = \frac{1}{2}$, se sigue que $a = 2$.

Paso 5: Encontrar $K$

Finalmente, se nos pide encontrar el valor de $K = \sqrt{2a^2 + 2}$: $K = \sqrt{2(2)^2 + 2} = \sqrt{2(4) + 2} = \sqrt{8 + 2} = \sqrt{10}$ La opción más cercana en la lista dada (2, 4, 6, 1) sería:

• Aproximando $\sqrt{10} \approx 3.16$, lo más cercano a esta aproximación sería B) 4.

Respuesta final: B) 4

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Consejo: Cuando trabajes con ecuaciones cuadráticas, siempre verifica las soluciones para asegurar que todas las condiciones se cumplan correctamente.