Diberikan persamaan $x^3 - 8x^2 - 6x + 3 = 0$, dengan akar-akar persamaan tersebut adalah $a$, $b$, dan $c$. Kita diminta menghitung nilai dari:

$(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2$

Mari kita uraikan langkah-langkahnya.

1. Identitas yang digunakan:

Kita bisa menggunakan identitas berikut:

$(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 = 2 \left( a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca \right)$

2. Menggunakan sifat-sifat akar-akar persamaan kubik:

Dari teori persamaan kubik, jika $a$, $b$, dan $c$ adalah akar-akar dari persamaan kubik $x^3 + px^2 + qx + r = 0$, maka hubungan-hubungan berikut berlaku:

• $a + b + c = -\frac{\text{koefisien } x^2}{\text{koefisien } x^3} = 8$
• $ab + bc + ca = \frac{\text{koefisien } x}{\text{koefisien } x^3} = -6$
• $abc = -\frac{\text{konstanta}}{\text{koefisien } x^3} = -3$

3. Menghitung $a^2 + b^2 + c^2$:

Gunakan identitas:

$a^2 + b^2 + c^2 = (a + b + c)^2 - 2(ab + bc + ca)$

Substitusi nilai $a + b + c = 8$ dan $ab + bc + ca = -6$ ke dalam identitas ini:

$a^2 + b^2 + c^2 = 8^2 - 2(-6) = 64 + 12 = 76$

4. Menghitung $(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2$:

Sekarang substitusi nilai $a^2 + b^2 + c^2 = 76$ dan $ab + bc + ca = -6$ ke dalam rumus awal:

$(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 = 2(76 - (-6)) = 2(76 + 6) = 2 \times 82 = 164$

Jadi, nilai dari $(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2$ adalah 164.

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau ada bagian yang perlu diperjelas?

Pertanyaan lanjutan:

1. Apa hubungan antara akar-akar dan koefisien dalam persamaan kubik secara umum?
2. Bagaimana kita bisa menentukan jenis akar (real atau kompleks) dari sebuah persamaan kubik?
3. Bagaimana metode numerik digunakan untuk mencari akar-akar persamaan kubik?
4. Apakah selalu mungkin untuk menemukan akar-akar persamaan kubik secara analitik?
5. Apa kegunaan sifat simetri dari akar-akar dalam persamaan polinomial?

Tip:

Jika persamaan kubik tidak mudah dipecahkan secara langsung, coba gunakan metode faktor atau aturan Vieta untuk mencari akar-akar secara lebih efisien.