Misalkan a, b dan c adalah penyelesaian dari persamaan x cubed minus 8 times x squared minus 6 times x plus 3 equals 0. Nilai dari open parentheses a minus b close parentheses squared plus open parentheses b minus c close parentheses squared plus open parentheses c minus a close parentheses squared equals....

Diberikan persamaan \( x^3 - 8x^2 - 6x + 3 = 0 \), dengan akar-akar persamaan tersebut adalah \( a \), \( b \), dan \( c \). Kita diminta menghitung nilai dari:

\[
(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2
\]

Mari kita uraikan langkah-langkahnya.

### 1. Identitas yang digunakan:
Kita bisa menggunakan identitas berikut:

\[
(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 = 2 \left( a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca \right)
\]

### 2. Menggunakan sifat-sifat akar-akar persamaan kubik:
Dari teori persamaan kubik, jika \( a \), \( b \), dan \( c \) adalah akar-akar dari persamaan kubik \( x^3 + px^2 + qx + r = 0 \), maka hubungan-hubungan berikut berlaku:
- \( a + b + c = -\frac{\text{koefisien } x^2}{\text{koefisien } x^3} = 8 \)
- \( ab + bc + ca = \frac{\text{koefisien } x}{\text{koefisien } x^3} = -6 \)
- \( abc = -\frac{\text{konstanta}}{\text{koefisien } x^3} = -3 \)

### 3. Menghitung \( a^2 + b^2 + c^2 \):
Gunakan identitas:

\[
a^2 + b^2 + c^2 = (a + b + c)^2 - 2(ab + bc + ca)
\]

Substitusi nilai \( a + b + c = 8 \) dan \( ab + bc + ca = -6 \) ke dalam identitas ini:

\[
a^2 + b^2 + c^2 = 8^2 - 2(-6) = 64 + 12 = 76
\]

### 4. Menghitung \( (a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 \):
Sekarang substitusi nilai \( a^2 + b^2 + c^2 = 76 \) dan \( ab + bc + ca = -6 \) ke dalam rumus awal:

\[
(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 = 2(76 - (-6)) = 2(76 + 6) = 2 \times 82 = 164
\]

Jadi, nilai dari \( (a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 \) adalah **164**.

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau ada bagian yang perlu diperjelas?

### Pertanyaan lanjutan:
1. Apa hubungan antara akar-akar dan koefisien dalam persamaan kubik secara umum?
2. Bagaimana kita bisa menentukan jenis akar (real atau kompleks) dari sebuah persamaan kubik?
3. Bagaimana metode numerik digunakan untuk mencari akar-akar persamaan kubik?
4. Apakah selalu mungkin untuk menemukan akar-akar persamaan kubik secara analitik?
5. Apa kegunaan sifat simetri dari akar-akar dalam persamaan polinomial?

### Tip:
Jika persamaan kubik tidak mudah dipecahkan secara langsung, coba gunakan metode faktor atau aturan Vieta untuk mencari akar-akar secara lebih efisien.

Explore how to solve the cubic equation x^3 - 8x^2 - 6x + 3 = 0 and calculate the value of (a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2. Learn key algebraic concepts such as Vieta's formulas and root symmetry, with detailed steps and formulas. Suitable for high school students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation