Для решения уравнения $x^3 + 3x^2 - 2 = 0$ комбинированным методом хорд и касательных (методом Ньютона–хорд), следуем следующему алгоритму:

Шаг 1: Найти начальное приближение

Исследуем функцию $f(x) = x^3 + 3x^2 - 2$:

• $f'(x) = 3x^2 + 6x$.

Графически или аналитически найдем приближенные корни. График показывает, что корень находится в интервале $[-3, -2]$.

Шаг 2: Формулы метода

1. Формула касательной (метод Ньютона): $x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.$
2. Формула хорды: $x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)(x_n - x_{n-1})}{f(x_n) - f(x_{n-1})}.$

Мы будем чередовать эти методы:

• Начнем с метода касательных, а затем переключимся на метод хорд, чтобы ускорить сходимость.

Шаг 3: Итерации

Выберем начальное приближение $x_0 = -2.5$ и соседнюю точку $x_1 = -2.2$.

Теперь произведем вычисления:

1. $x_0 = -2.5$: $f(x_0) = (-2.5)^3 + 3(-2.5)^2 - 2 = -15.625 + 18.75 - 2 = 1.125,$ $f'(x_0) = 3(-2.5)^2 + 6(-2.5) = 18.75 - 15 = 3.75.$ Следующее приближение методом Ньютона: $x_1 = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)} = -2.5 - \frac{1.125}{3.75} = -2.8.$

2. Метод хорд (следующая итерация): $x_2 = x_1 - \frac{f(x_1)(x_1 - x_0)}{f(x_1) - f(x_0)}.$

Продолжим вычисления численно. sympy as sp

Определяем функцию и ее производную

x = sp.symbols('x') f = x3 + 3*x2 - 2 f_prime = sp.diff(f, x)

Начальные приближения

x0 = -2.5 x1 = -2.8 tolerance = 0.001

Функция для метода хорд

def chord_method(f, x0, x1): fx0 = f.subs(x, x0) fx1 = f.subs(x, x1) return x1 - fx1 * (x1 - x0) / (fx1 - fx0)

Функция для метода Ньютона

def newton_method(f, f_prime, x0): fx0 = f.subs(x, x0) fpx0 = f_prime.subs(x, x0) return x0 - fx0 / fpx0

Итерации комбинированного метода

results = [] while True: # Метод Ньютона x_newton = newton_method(f, f_prime, x0) results.append(float(x_newton))

# Проверка точности
if abs(f.subs(x, x_newton)) < tolerance:
    break

# Метод хорд
x_chord = chord_method(f, x0, x_newton)
results.append(float(x_chord))

# Проверка точности
if abs(f.subs(x, x_chord)) < tolerance:
    x0 = x_chord
    break

# Обновляем начальные значения
x0 = x_newton
x1 = x_chord

resultsКорень уравнения $x^3 + 3x^2 - 2 = 0$, вычисленный комбинированным методом хорд и касательных с точностью до 0.001, равен приблизительно:

$x \approx -2.732$

Если требуется более детальная информация о промежуточных шагах, готов объяснить подробнее.

5 связанных вопросов:

1. Что такое метод Ньютона, и где он применяется?
2. Какой алгоритм используется в методе хорд?
3. В чем преимущество комбинированного метода хорд и касательных?
4. Какие условия сходимости необходимы для применения метода Ньютона?
5. Можно ли улучшить точность решения, и как это сделать?

Полезный совет:

Для улучшения сходимости метода хорд убедитесь, что начальные приближения находятся достаточно близко к корню, а функция монотонна на заданном интервале.