hallar dos números positivos consecutivos cuyo producto sea 380

Llamemos a los dos números positivos consecutivos \( x \) y \( x+1 \). Sabemos que su producto es 380, lo que se puede expresar como:

\[
x(x + 1) = 380
\]

Expandiendo la ecuación:

\[
x^2 + x = 380
\]

Ahora restamos 380 en ambos lados para obtener una ecuación cuadrática:

\[
x^2 + x - 380 = 0
\]

Aplicamos la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas \( ax^2 + bx + c = 0 \):

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

En nuestro caso, \( a = 1 \), \( b = 1 \), y \( c = -380 \). Sustituimos estos valores en la fórmula:

\[
x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-380)}}{2(1)}
\]
\[
x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 1520}}{2}
\]
\[
x = \frac{-1 \pm \sqrt{1521}}{2}
\]
\[
x = \frac{-1 \pm 39}{2}
\]

Las dos soluciones son:

\[
x = \frac{-1 + 39}{2} = \frac{38}{2} = 19
\]
\[
x = \frac{-1 - 39}{2} = \frac{-40}{2} = -20
\]

Dado que estamos buscando números **positivos**, tomamos \( x = 19 \). Por lo tanto, los dos números consecutivos son:

\[
19 \text{ y } 20
\]

¿Te gustaría más detalles o alguna otra explicación?

Aquí tienes algunas preguntas adicionales que podrían interesarte:
1. ¿Cómo se deduce la fórmula general para ecuaciones cuadráticas?
2. ¿Cómo podrías verificar si la respuesta es correcta?
3. ¿Qué otros métodos podrían utilizarse para resolver ecuaciones cuadráticas?
4. ¿Qué importancia tiene el discriminante en las ecuaciones cuadráticas?
5. ¿Cómo afectaría a la solución si el producto fuera un número negativo?

**Tip:** Las ecuaciones cuadráticas pueden tener una o dos soluciones reales, dependiendo del valor del discriminante \( b^2 - 4ac \).

Learn how to solve for two consecutive positive numbers whose product is 380 using algebraic methods. This step-by-step guide explains how to set up a quadratic equation and solve it using the quadratic formula. Suitable for students in Grades 8-10.

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