Para resolver la integral

$\int_{\gamma} \cos\left(3 + \frac{1}{z-3}\right) dz$

donde $\gamma$ es el círculo unitario y sin usar las fórmulas de Cauchy ni el Teorema de los Residuos, podemos proceder de la siguiente manera:

1. Comprensión del Contorno y la Función:

   $\gamma$ es el círculo unitario centrado en el origen, lo cual significa que el contorno $\gamma$ es $|z| = 1$.

2. Identificación de Singularidades:

   La función dentro del coseno es $3 + \frac{1}{z-3}$. Tenemos una singularidad en $z = 3$, que está fuera del contorno unitario $|z| = 1$. Como la singularidad no está dentro del contorno, la función es analítica en el contorno dado.

3. Integral de una Función Analítica en un Contorno Cerrado:

   Una propiedad importante de las funciones analíticas (holomorfas) en contornos cerrados es que la integral de una función analítica a lo largo de un contorno cerrado es cero. Esta es una consecuencia directa del teorema de Cauchy para funciones analíticas, que establece que si $f(z)$ es analítica dentro y sobre una curva cerrada $C$, entonces:

   $\int_{C} f(z) dz = 0$

   En este caso, $\cos\left(3 + \frac{1}{z-3}\right)$ es analítica en el contorno $|z| = 1$ porque la singularidad en $z = 3$ está fuera de este contorno.

4. Conclusión:

   Dado que $\cos\left(3 + \frac{1}{z-3}\right)$ es analítica en y sobre el contorno $|z| = 1$, la integral es:

   $\int_{\gamma} \cos\left(3 + \frac{1}{z-3}\right) dz = 0$

   Este resultado se obtiene sin necesidad de usar directamente las fórmulas de Cauchy ni el Teorema de los Residuos, sino simplemente aplicando la propiedad de las funciones analíticas y el contorno dado.

¿Tienes alguna duda o te gustaría obtener más detalles?

Aquí hay algunas preguntas adicionales que podrías explorar:

1. ¿Qué significa que una función sea analítica?
2. ¿Cómo se relaciona el teorema de Cauchy con las integrales de funciones analíticas?
3. ¿Qué otros métodos se pueden usar para evaluar integrales complejas sin recurrir al teorema de los residuos?
4. ¿Qué es una singularidad y cómo se clasifica?
5. ¿Qué propiedades tiene el círculo unitario en el plano complejo?
6. ¿Cómo se comporta el coseno complejo en diferentes contornos?
7. ¿Qué otras propiedades útiles tienen las funciones analíticas en el análisis complejo?
8. ¿Cómo afecta la ubicación de una singularidad en relación con el contorno a la evaluación de la integral?

Tip: Al estudiar análisis complejo, es fundamental entender bien las propiedades de las funciones analíticas y los contornos en los que se integran, ya que muchas de las herramientas y teoremas dependen de estas propiedades.