Soal ini meminta kita untuk menyelesaikan pertidaksamaan dengan dua nilai mutlak:

$|x - 1| < 2|x - 3|$

Untuk menyelesaikannya, kita harus mempertimbangkan beberapa kasus berdasarkan definisi dari nilai mutlak.

Langkah 1: Menguraikan pertidaksamaan ke dalam kasus

Kita akan menyelesaikan pertidaksamaan dengan mempertimbangkan dua situasi yang mungkin:

Kasus 1: $x - 3 \geq 0$ (atau $x \geq 3$)

Dalam kasus ini, $|x - 3| = x - 3$, sehingga pertidaksamaannya menjadi: $|x - 1| < 2(x - 3)$ Nilai mutlak $|x - 1|$ dapat ditulis sebagai dua kasus lagi:

• $x - 1$ jika $x \geq 1$
• $-(x - 1) = -x + 1$ jika $x < 1$

Untuk $x \geq 3$: $x - 1 < 2(x - 3)$ Menyederhanakan: $x - 1 < 2x - 6$ $5 < x$ Jadi, solusinya $x > 5$.

Kasus 2: $x - 3 < 0$ (atau $x < 3$)

Dalam kasus ini, $|x - 3| = -(x - 3) = -x + 3$, sehingga pertidaksamaannya menjadi: $|x - 1| < 2(-x + 3)$ Nilai mutlak $|x - 1|$ tetap diurai menjadi dua kasus:

• $x - 1$ jika $x \geq 1$
• $-(x - 1) = -x + 1$ jika $x < 1$

Untuk $1 \leq x < 3$: $x - 1 < -2x + 6$ Menyederhanakan: $3x < 7$ $x < \frac{7}{3}$ Jadi, solusinya adalah $1 \leq x < \frac{7}{3}$.

Untuk $x < 1$: $-x + 1 < -2x + 6$ Menyederhanakan: $x < 5$ Sehingga, semua nilai $x < 1$ memenuhi kondisi ini.

Kesimpulan

Menggabungkan semua solusi dari kasus-kasus di atas:

• $x < 1$
• $1 \leq x < \frac{7}{3}$
• $x > 5$

Jadi, himpunan solusi untuk pertidaksamaan ini adalah $(-\infty, 1) \cup \left[1, \frac{7}{3}\right) \cup (5, \infty)$.

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut, atau ada pertanyaan lain?

Berikut adalah 5 pertanyaan terkait:

1. Bagaimana cara menyelesaikan persamaan dengan nilai mutlak ganda?
2. Apa perbedaan antara pertidaksamaan dan persamaan?
3. Bagaimana cara menggambarkan grafik dari solusi pertidaksamaan?
4. Bagaimana menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak dengan nilai mutlak di kedua sisi?
5. Apa perbedaan kasus untuk nilai mutlak dengan dan tanpa variabel negatif?

Tip: Saat menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak, selalu perhatikan kemungkinan beberapa kasus yang muncul dari definisi nilai mutlak itu sendiri.