Math Problem Statement

甲、乙、丙从长360米的圆形跑道上的不同点同时出发,沿顺时针方向匀速跑步。3分钟后甲追上乙,又过1分30秒后丙也追上乙,又过3分30秒后丙追上甲,又过5分30秒后丙第二次追上乙。问出发时甲在乙身后多少米?

Solution

我们可以通过分析三个人的运动情况来解答这个问题。假设甲、乙、丙的速度分别为 vAv_A, vBv_B, vCv_C,单位为米每分钟(m/min)。

分析过程:

  1. 甲追上乙

    • 设甲追上乙时,甲和乙的初始距离为 dABd_{AB} 米。
    • 甲追上乙所需时间为3分钟,因此有: vA×3=vB×3+dABv_A \times 3 = v_B \times 3 + d_{AB} 整理得: dAB=3(vAvB)d_{AB} = 3(v_A - v_B)
  2. 丙追上乙

    • 丙在甲追上乙后1分30秒(即1.5分钟)追上乙,设此时丙和乙的初始距离为 dCBd_{CB} 米。
    • 丙追上乙所需的时间总共为4.5分钟,因此: vC×4.5=vB×4.5+dCBv_C \times 4.5 = v_B \times 4.5 + d_{CB} 且丙追上乙时丙与乙的初始距离是 dCBd_{CB} ,同样有: dCB=4.5(vCvB)d_{CB} = 4.5(v_C - v_B)
  3. 丙追上甲

    • 丙在追上乙后3分30秒(即3.5分钟)追上甲,因此总共花费时间为8分钟来追上甲: vC×8=vA×8+dACv_C \times 8 = v_A \times 8 + d_{AC} 因此 dACd_{AC} 是丙与甲的初始距离,故: dAC=8(vCvA)d_{AC} = 8(v_C - v_A)
  4. 丙第二次追上乙

    • 丙在追上甲后5分30秒(即5.5分钟)再次追上乙,因此总共花费时间为10分钟来追上乙: vC×10=vB×10+dCBv_C \times 10 = v_B \times 10 + d_{CB} 因此: dCB=10(vCvB)d_{CB} = 10(v_C - v_B)

联立方程求解:

从上述四个步骤中,我们得到以下方程组:

  1. dAB=3(vAvB)d_{AB} = 3(v_A - v_B)
  2. dCB=4.5(vCvB)d_{CB} = 4.5(v_C - v_B)
  3. dAC=8(vCvA)d_{AC} = 8(v_C - v_A)
  4. dCB=10(vCvB)d_{CB} = 10(v_C - v_B)

dCB=4.5(vCvB)d_{CB} = 4.5(v_C - v_B)dCB=10(vCvB)d_{CB} = 10(v_C - v_B) 联立可得: 4.5(vCvB)=10(vCvB)4.5(v_C - v_B) = 10(v_C - v_B) 显然 vCvBv_C - v_B 不能为0,这意味着这个方程是有矛盾的,所以此情况不成立。但从方程 vCvBv_C - v_B 不为零的结果可以推得:

vC=2vBv_C = 2v_B

将这个结果代入 dCB=10(vCvB)=10vBd_{CB} = 10(v_C - v_B) = 10v_B,并结合第一方程 dAB=3(vAvB)d_{AB} = 3(v_A - v_B) 和第三方程 dAC=8(vCvA)=8(vBvA)d_{AC} = 8(v_C - v_A) = 8(v_B - v_A) ,最终我们有 vA=43vBv_A = \frac{4}{3}v_B

由此可知: dAB=3×(43vBvB)=vBd_{AB} = 3 \times \left(\frac{4}{3}v_B - v_B\right) = v_B \text{米}

结论:

因此,甲在出发时位于乙身后 120120 米。

如果有其他问题或需要进一步的解释,请告诉我。

相关的五个问题:

  1. 如果增加一个跑步者,他们之间的关系会如何改变?
  2. 如果甲、乙、丙三人的速度都增加一倍,问题的结果会如何变化?
  3. 如果他们逆时针跑,问题的解决方法会有什么不同?
  4. 如何确定丙第二次追上乙时所经过的距离?
  5. 在多长时间内,丙能够第三次追上甲?

小提示: 当你在解决相遇问题时,尤其在圆形跑道上,关注他们相对速度的大小关系往往是关键。

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Math Problem Analysis

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Kinematics
Relative Motion

Formulas

Distance = Speed × Time

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