Math Problem Statement
甲、乙、丙从长360米的圆形跑道上的不同点同时出发,沿顺时针方向匀速跑步。3分钟后甲追上乙,又过1分30秒后丙也追上乙,又过3分30秒后丙追上甲,又过5分30秒后丙第二次追上乙。问出发时甲在乙身后多少米?
Solution
我们可以通过分析三个人的运动情况来解答这个问题。假设甲、乙、丙的速度分别为 , , ,单位为米每分钟(m/min)。
分析过程:
-
甲追上乙:
- 设甲追上乙时,甲和乙的初始距离为 米。
- 甲追上乙所需时间为3分钟,因此有: 整理得:
-
丙追上乙:
- 丙在甲追上乙后1分30秒(即1.5分钟)追上乙,设此时丙和乙的初始距离为 米。
- 丙追上乙所需的时间总共为4.5分钟,因此: 且丙追上乙时丙与乙的初始距离是 ,同样有:
-
丙追上甲:
- 丙在追上乙后3分30秒(即3.5分钟)追上甲,因此总共花费时间为8分钟来追上甲: 因此 是丙与甲的初始距离,故:
-
丙第二次追上乙:
- 丙在追上甲后5分30秒(即5.5分钟)再次追上乙,因此总共花费时间为10分钟来追上乙: 因此:
联立方程求解:
从上述四个步骤中,我们得到以下方程组:
将 和 联立可得: 显然 不能为0,这意味着这个方程是有矛盾的,所以此情况不成立。但从方程 不为零的结果可以推得:
将这个结果代入 ,并结合第一方程 和第三方程 ,最终我们有 。
由此可知:
结论:
因此,甲在出发时位于乙身后 米。
如果有其他问题或需要进一步的解释,请告诉我。
相关的五个问题:
- 如果增加一个跑步者,他们之间的关系会如何改变?
- 如果甲、乙、丙三人的速度都增加一倍,问题的结果会如何变化?
- 如果他们逆时针跑,问题的解决方法会有什么不同?
- 如何确定丙第二次追上乙时所经过的距离?
- 在多长时间内,丙能够第三次追上甲?
小提示: 当你在解决相遇问题时,尤其在圆形跑道上,关注他们相对速度的大小关系往往是关键。
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Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Kinematics
Relative Motion
Formulas
Distance = Speed × Time
Theorems
-
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