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Para resolver la integral compleja dada en la imagen, primero debemos identificar todos los elementos:

La integral dada es:

\[ \oint_{C} e^{z^{1/2}} \, dz \]

donde \( C \) es el círculo de radio \( 4.00000 \) con centro en \( 3 + 4i \).

### Solución paso a paso

1. **Definir la trayectoria \( C \)**:
   La trayectoria \( C \) es un círculo con centro en \( 3 + 4i \) y radio \( 4 \).

2. **Función integranda \( e^{z^{1/2}} \)**:
   La función \( e^{z^{1/2}} \) tiene una singularidad en \( z = 0 \) debido a la raíz cuadrada. Sin embargo, como \( C \) no pasa por el origen (el círculo está centrado en \( 3 + 4i \)), no tendremos problemas de singularidad en esta trayectoria.

3. **Teorema de Cauchy**:
   Dado que la función \( e^{z^{1/2}} \) es analítica dentro y en la trayectoria \( C \), por el Teorema de Cauchy para integrales de contorno de funciones holomorfas, sabemos que:

   \[
   \oint_{C} f(z) \, dz = 0
   \]

   siempre y cuando \( f(z) \) sea analítica dentro y sobre \( C \).

4. **Aplicación del teorema**:
   Como \( e^{z^{1/2}} \) es analítica en el área que incluye el círculo de radio 4 con centro en \( 3 + 4i \), podemos concluir que:

   \[
   \oint_{C} e^{z^{1/2}} \, dz = 0
   \]

### Conclusión
La integral compleja alrededor de la trayectoria \( C \) resulta en:

\[ \oint_{C} e^{z^{1/2}} \, dz = 0 \]

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta sobre esta solución?

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Aquí tienes algunas preguntas relacionadas para explorar más:

1. ¿Qué es el teorema de Cauchy y cómo se aplica en integrales complejas?
2. ¿Qué significa que una función sea analítica en un dominio?
3. ¿Cómo se define el valor principal de una raíz cuadrada compleja?
4. ¿Qué sucede si la trayectoria de integración pasa por una singularidad?
5. ¿Cómo afecta la elección del contorno a la integral de línea en el plano complejo?
6. ¿Cuáles son otros ejemplos de integrales que se resuelven usando el teorema de Cauchy?
7. ¿Qué técnicas se utilizan para evaluar integrales complejas con múltiples singularidades?
8. ¿Cómo se podría parametrizar la trayectoria \( C \) en esta integral?

**Tip**: Cuando trabajes con integrales complejas, verifica siempre si la función es analítica en el dominio de integración para poder aplicar teoremas como el de Cauchy o el de residuos.

Explore the solution to the complex integral ∮_{C} e^{z^{1/2}} dz using Cauchy's Integral Theorem. Understand how to apply this theorem in contour integration, with step-by-step explanations and a detailed breakdown of the problem. Suitable for university-level students and anyone interested in complex analysis.

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