bien ahora integrala y encuentra la antiderivada  pero No puedes usar Fórmulas de Cauchy ni Teorema de Residuos

Para encontrar la antiderivada de la función \( e^{z^{1/2}} \) y evaluar la integral alrededor del círculo dado, primero observamos la función y su estructura. No usaremos los teoremas de Cauchy ni de residuos, por lo que necesitamos encontrar la antiderivada directamente.

### 1. Antiderivada de \( e^{z^{1/2}} \)

Primero, definamos \( z^{1/2} \). Para simplificar, podemos escribir:

\[ u = z^{1/2} \]
\[ z = u^2 \]
\[ dz = 2u \, du \]

Entonces, la integral \( \int e^{z^{1/2}} \, dz \) se transforma en:

\[ \int e^u \cdot 2u \, du \]

Esta integral se puede resolver por partes. Tomemos:

\[ v = 2u \quad \text{y} \quad dv = 2 \, du \]
\[ du = e^u \quad \text{y} \quad u = e^u \]

La fórmula de integración por partes es:

\[ \int v \, du = uv - \int u \, dv \]

Aplicando la fórmula:

\[ \int 2u \cdot e^u \, du = 2u \cdot e^u - \int 2e^u \, du \]

Calculamos la integral:

\[ \int 2u \cdot e^u \, du = 2u \cdot e^u - 2 \int e^u \, du \]
\[ = 2u \cdot e^u - 2e^u + C \]

Volviendo a la variable original \( z \):

\[ u = z^{1/2} \]

La antiderivada es:

\[ 2z^{1/2} \cdot e^{z^{1/2}} - 2e^{z^{1/2}} + C \]

### 2. Evaluación de la Integral en el Contorno \( C \)

Ahora evaluamos la integral alrededor del círculo \( C \):

\[ \oint_{C} e^{z^{1/2}} \, dz \]

El contorno \( C \) es el círculo con centro \( 3 + 4i \) y radio 4.

Para la integral de línea en el plano complejo sin usar teoremas de Cauchy ni residuos, podemos parametrizar el contorno:

\[ z(t) = 3 + 4i + 4e^{it}, \quad 0 \leq t < 2\pi \]

donde \( dz = i4e^{it} \, dt \).

Entonces, la integral se transforma en:

\[ \oint_{C} e^{z^{1/2}} \, dz = \int_{0}^{2\pi} e^{(3 + 4i + 4e^{it})^{1/2}} \cdot i4e^{it} \, dt \]

Este cálculo es complicado analíticamente debido a la forma de la raíz cuadrada compleja, pero podemos observar que el término \( e^{(3 + 4i + 4e^{it})^{1/2}} \) tiene un comportamiento periódico y el término \( i4e^{it} \, dt \) describe una rotación completa en el contorno. Sin embargo, sin el uso de herramientas avanzadas como el teorema de Cauchy o el de residuos, la evaluación directa de esta integral es altamente compleja y probablemente implique métodos numéricos o software de cálculo simbólico para obtener una solución precisa.

### Conclusión
Hemos encontrado la antiderivada de \( e^{z^{1/2}} \) como:

\[ 2z^{1/2} \cdot e^{z^{1/2}} - 2e^{z^{1/2}} + C \]

La evaluación directa de la integral alrededor del contorno dado es compleja y no se puede simplificar fácilmente sin usar teoremas avanzados de análisis complejo.

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta sobre esta solución?

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Aquí tienes algunas preguntas relacionadas para explorar más:

1. ¿Cómo se puede utilizar la parametrización para resolver integrales complejas?
2. ¿Qué es la integración por partes y cómo se aplica?
3. ¿Cuáles son las propiedades de la función exponencial compleja?
4. ¿Cómo se determina el centro y el radio de un círculo en el plano complejo?
5. ¿Qué otros métodos numéricos existen para evaluar integrales complejas?
6. ¿Cómo afecta la periodicidad de la función integranda a la evaluación de la integral?
7. ¿Cuál es la relación entre las integrales de contorno y las series de Laurent?
8. ¿Qué técnicas existen para simplificar la raíz cuadrada de un número complejo?

**Tip**: En análisis complejo, la parametrización de contornos y el uso de sustituciones pueden simplificar el proceso de integración, aunque algunos casos pueden requerir métodos numéricos para una solución precisa.

Explore how to find the antiderivative and evaluate the integral of e^(z^(1/2)) around a specified contour using complex analysis methods. Includes step-by-step solutions without using Cauchy's theorem or residue theorem. Suitable for advanced undergraduate or graduate students.

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