Para encontrar la antiderivada de la función $e^{z^{1/2}}$ y evaluar la integral alrededor del círculo dado, primero observamos la función y su estructura. No usaremos los teoremas de Cauchy ni de residuos, por lo que necesitamos encontrar la antiderivada directamente.

1. Antiderivada de $e^{z^{1/2}}$

Primero, definamos $z^{1/2}$. Para simplificar, podemos escribir:

$u = z^{1/2}$ $z = u^2$ $dz = 2u \, du$

Entonces, la integral $\int e^{z^{1/2}} \, dz$ se transforma en:

$\int e^u \cdot 2u \, du$

Esta integral se puede resolver por partes. Tomemos:

$v = 2u \quad \text{y} \quad dv = 2 \, du$ $du = e^u \quad \text{y} \quad u = e^u$

La fórmula de integración por partes es:

$\int v \, du = uv - \int u \, dv$

Aplicando la fórmula:

$\int 2u \cdot e^u \, du = 2u \cdot e^u - \int 2e^u \, du$

Calculamos la integral:

$\int 2u \cdot e^u \, du = 2u \cdot e^u - 2 \int e^u \, du$ $= 2u \cdot e^u - 2e^u + C$

Volviendo a la variable original $z$:

$u = z^{1/2}$

La antiderivada es:

$2z^{1/2} \cdot e^{z^{1/2}} - 2e^{z^{1/2}} + C$

2. Evaluación de la Integral en el Contorno $C$

Ahora evaluamos la integral alrededor del círculo $C$:

$\oint_{C} e^{z^{1/2}} \, dz$

El contorno $C$ es el círculo con centro $3 + 4i$ y radio 4.

Para la integral de línea en el plano complejo sin usar teoremas de Cauchy ni residuos, podemos parametrizar el contorno:

$z(t) = 3 + 4i + 4e^{it}, \quad 0 \leq t < 2\pi$

donde $dz = i4e^{it} \, dt$.

Entonces, la integral se transforma en:

$\oint_{C} e^{z^{1/2}} \, dz = \int_{0}^{2\pi} e^{(3 + 4i + 4e^{it})^{1/2}} \cdot i4e^{it} \, dt$

Este cálculo es complicado analíticamente debido a la forma de la raíz cuadrada compleja, pero podemos observar que el término $e^{(3 + 4i + 4e^{it})^{1/2}}$ tiene un comportamiento periódico y el término $i4e^{it} \, dt$ describe una rotación completa en el contorno. Sin embargo, sin el uso de herramientas avanzadas como el teorema de Cauchy o el de residuos, la evaluación directa de esta integral es altamente compleja y probablemente implique métodos numéricos o software de cálculo simbólico para obtener una solución precisa.

Conclusión

Hemos encontrado la antiderivada de $e^{z^{1/2}}$ como:

$2z^{1/2} \cdot e^{z^{1/2}} - 2e^{z^{1/2}} + C$

La evaluación directa de la integral alrededor del contorno dado es compleja y no se puede simplificar fácilmente sin usar teoremas avanzados de análisis complejo.

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta sobre esta solución?

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Aquí tienes algunas preguntas relacionadas para explorar más:

1. ¿Cómo se puede utilizar la parametrización para resolver integrales complejas?
2. ¿Qué es la integración por partes y cómo se aplica?
3. ¿Cuáles son las propiedades de la función exponencial compleja?
4. ¿Cómo se determina el centro y el radio de un círculo en el plano complejo?
5. ¿Qué otros métodos numéricos existen para evaluar integrales complejas?
6. ¿Cómo afecta la periodicidad de la función integranda a la evaluación de la integral?
7. ¿Cuál es la relación entre las integrales de contorno y las series de Laurent?
8. ¿Qué técnicas existen para simplificar la raíz cuadrada de un número complejo?

Tip: En análisis complejo, la parametrización de contornos y el uso de sustituciones pueden simplificar el proceso de integración, aunque algunos casos pueden requerir métodos numéricos para una solución precisa.