Vilket är det minsta naturliga tal som vid division med 83 ger resten 1 och vid division med
47 ger resten 3?

För att lösa detta problem, söker vi det minsta naturliga talet \( x \) som uppfyller följande kongruenser:

\[
x \equiv 1 \ (\text{mod}\ 83)
\]
\[
x \equiv 3 \ (\text{mod}\ 47)
\]

Detta är ett exempel på ett system av kongruenser, och vi kan använda den kinesiska restklassatsen (Chinese Remainder Theorem, CRT) för att lösa det. Stegen är som följer:

1. Vi betecknar \( x \) som:
   \[
   x = 83k + 1
   \]
   där \( k \) är ett heltal.

2. Ersätt detta uttryck för \( x \) i den andra kongruensen \( x \equiv 3 \ (\text{mod}\ 47) \):
   \[
   83k + 1 \equiv 3 \ (\text{mod}\ 47)
   \]

3. Förenkla detta:
   \[
   83k \equiv 2 \ (\text{mod}\ 47)
   \]
   Eftersom \( 83 \equiv 36 \ (\text{mod}\ 47) \) (då 83-47 = 36), kan vi skriva om det som:
   \[
   36k \equiv 2 \ (\text{mod}\ 47)
   \]

4. Nu måste vi hitta det minsta värdet av \( k \) som uppfyller denna ekvation. Detta kan göras genom att lösa \( 36k \equiv 2 \ (\text{mod}\ 47) \) genom att multiplicera med den inversen av 36 modulo 47. För att hitta inversen kan vi använda Euklides algoritm:

   Efter att ha beräknat den inversen (som visar sig vara 22), multiplicerar vi båda sidorna av ekvationen med 22:
   \[
   k \equiv 22 \cdot 2 \ (\text{mod}\ 47)
   \]
   \[
   k \equiv 44 \ (\text{mod}\ 47)
   \]

5. Så \( k = 47m + 44 \) där \( m \) är ett heltal. Sätt detta i uttrycket för \( x \):
   \[
   x = 83k + 1 = 83(47m + 44) + 1 = 3901m + 3653 + 1 = 3901m + 3654
   \]

6. Det minsta naturliga talet \( x \) fås genom att sätta \( m = 0 \), vilket ger:
   \[
   x = 3654
   \]

Alltså är det minsta naturliga talet som uppfyller båda kongruenserna \( x = 3654 \).

Vill du ha fler detaljer om beräkningarna eller har du några frågor?

Här är fem relaterade frågor för vidare utforskning:
1. Hur fungerar den kinesiska restklassatsen i allmänhet?
2. Hur bestäms den modulära inversen med Euklides algoritm?
3. Vad är skillnaden mellan kongruens och ekvationer i vanlig algebra?
4. Kan den kinesiska restklassatsen användas för fler än två moduli?
5. Vilka praktiska tillämpningar finns för kinesiska restklassatsen i kryptografi?

**Tips:** Att behärska modulär aritmetik kan hjälpa mycket vid problem som involverar cykliska fenomen, till exempel inom kryptografi och talteori!

Vilket är det minsta naturliga tal som vid division med 83 ger resten 1 och vid division med 47 ger resten 3?

Learn how to find the smallest natural number that leaves a remainder of 1 when divided by 83 and a remainder of 3 when divided by 47. This solution involves modular arithmetic, the Chinese Remainder Theorem, and finding the modular inverse. Suitable for students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation