För att lösa detta problem, söker vi det minsta naturliga talet $x$ som uppfyller följande kongruenser:

$x \equiv 1 \ (\text{mod}\ 83)$ $x \equiv 3 \ (\text{mod}\ 47)$

Detta är ett exempel på ett system av kongruenser, och vi kan använda den kinesiska restklassatsen (Chinese Remainder Theorem, CRT) för att lösa det. Stegen är som följer:

1. Vi betecknar $x$ som: $x = 83k + 1$ där $k$ är ett heltal.

2. Ersätt detta uttryck för $x$ i den andra kongruensen $x \equiv 3 \ (\text{mod}\ 47)$: $83k + 1 \equiv 3 \ (\text{mod}\ 47)$

3. Förenkla detta: $83k \equiv 2 \ (\text{mod}\ 47)$ Eftersom $83 \equiv 36 \ (\text{mod}\ 47)$ (då 83-47 = 36), kan vi skriva om det som: $36k \equiv 2 \ (\text{mod}\ 47)$

4. Nu måste vi hitta det minsta värdet av $k$ som uppfyller denna ekvation. Detta kan göras genom att lösa $36k \equiv 2 \ (\text{mod}\ 47)$ genom att multiplicera med den inversen av 36 modulo 47. För att hitta inversen kan vi använda Euklides algoritm:

   Efter att ha beräknat den inversen (som visar sig vara 22), multiplicerar vi båda sidorna av ekvationen med 22: $k \equiv 22 \cdot 2 \ (\text{mod}\ 47)$ $k \equiv 44 \ (\text{mod}\ 47)$

5. Så $k = 47m + 44$ där $m$ är ett heltal. Sätt detta i uttrycket för $x$: $x = 83k + 1 = 83(47m + 44) + 1 = 3901m + 3653 + 1 = 3901m + 3654$

6. Det minsta naturliga talet $x$ fås genom att sätta $m = 0$, vilket ger: $x = 3654$

Alltså är det minsta naturliga talet som uppfyller båda kongruenserna $x = 3654$.

Vill du ha fler detaljer om beräkningarna eller har du några frågor?

Här är fem relaterade frågor för vidare utforskning:

1. Hur fungerar den kinesiska restklassatsen i allmänhet?
2. Hur bestäms den modulära inversen med Euklides algoritm?
3. Vad är skillnaden mellan kongruens och ekvationer i vanlig algebra?
4. Kan den kinesiska restklassatsen användas för fler än två moduli?
5. Vilka praktiska tillämpningar finns för kinesiska restklassatsen i kryptografi?

Tips: Att behärska modulär aritmetik kan hjälpa mycket vid problem som involverar cykliska fenomen, till exempel inom kryptografi och talteori!