Sebuah bilangan jika dibagi 3 akan bersisa 1, jika dibagi 4 akan bersisa 2, jika dibagi 5 akan bersisa 3, dan jika dibagi 6 akan bersisa 4. Tentukan bilangan ratusan terbesar yang dimaksud

Diketahui ada sebuah bilangan yang memenuhi syarat-syarat sebagai berikut:

- Jika dibagi 3, sisa 1.
- Jika dibagi 4, sisa 2.
- Jika dibagi 5, sisa 3.
- Jika dibagi 6, sisa 4.

Untuk menyelesaikan masalah ini, kita bisa menganggap bilangan tersebut sebagai \( x \). Kemudian kita dapat menuliskan sistem kongruensi berdasarkan informasi yang diberikan:

\[
x \equiv 1 \ (\text{mod} \ 3)
\]
\[
x \equiv 2 \ (\text{mod} \ 4)
\]
\[
x \equiv 3 \ (\text{mod} \ 5)
\]
\[
x \equiv 4 \ (\text{mod} \ 6)
\]

Langkah pertama adalah menyederhanakan masalah ini. Jika diperhatikan, persamaan \( x \equiv 4 \ (\text{mod} \ 6) \) bisa juga berlaku pada \( x \equiv 1 \ (\text{mod} \ 3) \), karena \( 6 \) adalah kelipatan dari \( 3 \). Jadi kita fokus pada sistem yang lebih sederhana:

\[
x \equiv 4 \ (\text{mod} \ 6)
\]
\[
x \equiv 3 \ (\text{mod} \ 5)
\]
\[
x \equiv 2 \ (\text{mod} \ 4)
\]

Sekarang, kita bisa menggunakan metode substitusi untuk mencari solusi yang memenuhi semua kondisi ini.

Mari kita mulai dari persamaan \( x \equiv 4 \ (\text{mod} \ 6) \). Ini berarti \( x = 6k + 4 \) untuk beberapa bilangan bulat \( k \).

Kita substitusi bentuk \( x = 6k + 4 \) ke dalam persamaan \( x \equiv 3 \ (\text{mod} \ 5) \), sehingga kita dapatkan:
\[
6k + 4 \equiv 3 \ (\text{mod} \ 5)
\]
Menyederhanakan persamaan ini:
\[
6k + 4 \equiv 3 \ (\text{mod} \ 5) \implies k + 4 \equiv 3 \ (\text{mod} \ 5)
\]
\[
k \equiv -1 \equiv 4 \ (\text{mod} \ 5)
\]
Jadi, \( k = 5m + 4 \) untuk beberapa bilangan bulat \( m \).

Substitusi \( k = 5m + 4 \) ke dalam \( x = 6k + 4 \), kita dapatkan:
\[
x = 6(5m + 4) + 4 = 30m + 24 + 4 = 30m + 28
\]
Jadi, \( x = 30m + 28 \).

Sekarang kita substitusi \( x = 30m + 28 \) ke dalam persamaan \( x \equiv 2 \ (\text{mod} \ 4) \), sehingga:
\[
30m + 28 \equiv 2 \ (\text{mod} \ 4)
\]
Menyederhanakan:
\[
30m + 28 \equiv 2 \ (\text{mod} \ 4) \implies 2m \equiv 2 \ (\text{mod} \ 4)
\]
Ini berarti \( m \equiv 1 \ (\text{mod} \ 2) \), sehingga \( m = 2n + 1 \) untuk beberapa bilangan bulat \( n \).

Substitusi \( m = 2n + 1 \) ke dalam \( x = 30m + 28 \), kita dapatkan:
\[
x = 30(2n + 1) + 28 = 60n + 30 + 28 = 60n + 58
\]
Jadi, \( x = 60n + 58 \).

Sekarang kita mencari nilai \( n \) sedemikian sehingga \( x \) adalah bilangan ratusan terbesar. Untuk itu, kita mencari \( n \) sedemikian sehingga \( x < 1000 \):
\[
60n + 58 < 1000
\]
\[
60n < 942
\]
\[
n < \frac{942}{60} = 15.7
\]
Jadi, \( n = 15 \).

Substitusi \( n = 15 \) ke dalam \( x = 60n + 58 \):
\[
x = 60(15) + 58 = 900 + 58 = 958
\]

Jadi, bilangan ratusan terbesar yang memenuhi syarat-syarat tersebut adalah **958**.

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau ada pertanyaan lain? 

Berikut 5 pertanyaan terkait:

1. Bagaimana cara menyelesaikan sistem kongruensi linier dengan lebih dari dua modulus?
2. Apa itu metode substitusi dalam menyelesaikan sistem kongruensi?
3. Bagaimana cara memeriksa solusi dari sistem kongruensi yang lebih kompleks?
4. Apa kegunaan prinsip modulus dalam kehidupan sehari-hari?
5. Mengapa pengurangan persamaan modulus membantu dalam menyederhanakan masalah?

**Tip**: Saat menghadapi sistem kongruensi, langkah awal yang baik adalah menyederhanakan masalah dengan mengeliminasi kongruensi yang memiliki modulus yang saling berhubungan.

Sebuah bilangan jika dibagi 3 akan bersisa 1, jika dibagi 4 akan bersisa 2, jika dibagi 5 akan bersisa 3, dan jika dibagi 6 akan bersisa 4. Tentukan bilangan ratusan terbesar yang dimaksud.

Discover how to find the largest three-digit number that leaves specific remainders when divided by 3, 4, 5, and 6. This problem involves modular arithmetic, system of congruences, and application of the Chinese Remainder Theorem, making it ideal for students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation