Vilket är det minsta naturliga tal som vid division med 83 ger resten 1 och vid division med
47 ger resten 3?

Vi letar efter det minsta naturliga talet \( x \) som uppfyller två kongruenser:

\[
x \equiv 1 \,(\text{mod}\, 83)
\]
\[
x \equiv 3 \,(\text{mod}\, 47)
\]

För att lösa detta använder vi den kinesiska restklassatsen, som kan användas för att lösa system av kongruenser när moduli är inbördes relativt prima. Eftersom \( 83 \) och \( 47 \) är relativt prima (deras största gemensamma delare är 1), kan vi applicera metoden.

### Steg 1: Ställ upp ekvationerna
Vi har:
\[
x = 83k + 1 \quad \text{(för något heltal \( k \))}
\]
Sätt detta uttryck för \( x \) i den andra kongruensen:
\[
83k + 1 \equiv 3 \,(\text{mod}\, 47)
\]
\[
83k \equiv 2 \,(\text{mod}\, 47)
\]

### Steg 2: Reducera \( 83 \mod 47 \)
Beräkna \( 83 \mod 47 \):
\[
83 \equiv 36 \,(\text{mod}\, 47)
\]
Nu har vi ekvationen:
\[
36k \equiv 2 \,(\text{mod}\, 47)
\]

### Steg 3: Lös den diofantiska ekvationen
Vi behöver nu hitta \( k \) som löser:
\[
36k \equiv 2 \,(\text{mod}\, 47)
\]
För detta behöver vi hitta den inversa av \( 36 \) mod \( 47 \). Detta kan göras med hjälp av Euklides algoritm.

Låt oss köra Euklides algoritm för att hitta den multiplikativa inversen av \( 36 \) modulo \( 47 \).Den inversa av \( 36 \) mod \( 47 \) är \( 17 \). 

### Steg 4: Lös för \( k \)
Nu multiplicerar vi båda sidor av ekvationen \( 36k \equiv 2 \,(\text{mod}\, 47) \) med \( 17 \):

\[
k \equiv 2 \cdot 17 \,(\text{mod}\, 47)
\]
\[
k \equiv 34 \,(\text{mod}\, 47)
\]

### Steg 5: Beräkna \( x \)
Nu när vi har \( k = 47m + 34 \) (för något heltal \( m \)), kan vi sätta detta i uttrycket för \( x \):
\[
x = 83k + 1 = 83(47m + 34) + 1
\]
\[
x = 3901m + 2823 + 1 = 3901m + 2824
\]

Så det minsta värdet på \( x \) är när \( m = 0 \), vilket ger:
\[
x = 2824
\]

Det minsta naturliga talet som uppfyller båda kongruenserna är alltså \( x = 2824 \).

Vill du ha fler detaljer eller har du några frågor? 

Här är några relaterade frågor:
1. Hur fungerar den kinesiska restklassatsen?
2. Kan vi lösa detta problem med en annan metod?
3. Vad är Euklides algoritm och hur tillämpas den här?
4. Hur fungerar multiplikativ invers i modulär aritmetik?
5. Vad betyder det att två tal är relativt prima?

**Tips:** När du löser kongruenssystem kan den kinesiska restklassatsen vara mycket användbar, särskilt om moduli är relativt prima.

Vilket är det minsta naturliga tal som vid division med 83 ger resten 1 och vid division med 47 ger resten 3?

Learn how to find the smallest natural number that leaves a remainder of 1 when divided by 83 and a remainder of 3 when divided by 47. This problem involves modular arithmetic, the Chinese Remainder Theorem, and the Euclidean algorithm, making it suitable for advanced students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation