Задача 8:

Изразът е:
$\frac{5^9 \cdot 25^3 \cdot (-7)^{12}}{49^5 \cdot (-7)^2 \cdot 125^5}$

Решение:

1. Преобразуваме степените:

   • $25 = 5^2$, значи $25^3 = (5^2)^3 = 5^6$
   • $49 = 7^2$, значи $49^5 = (7^2)^5 = 7^{10}$
   • $125 = 5^3$, значи $125^5 = (5^3)^5 = 5^{15}$

2. Замествайки тези стойности в израза: $\frac{5^9 \cdot 5^6 \cdot (-7)^{12}}{7^{10} \cdot (-7)^2 \cdot 5^{15}}$

3. Оптимизираме степените за $5$ и $(-7)$:

   • За $5$: $5^9 \cdot 5^6 = 5^{9+6} = 5^{15}$
   • За $(-7)$: $(-7)^{12} \div (-7)^2 = (-7)^{12-2} = (-7)^{10}$

   Изразът става: $\frac{5^{15} \cdot (-7)^{10}}{7^{10} \cdot 5^{15}}$

4. Съкратете $5^{15}$ от числителя и знаменателя: $\frac{(-7)^{10}}{7^{10}}$

5. Тъй като $(-7)^{10} = (7^{10}) \cdot (-1)^{10} = 7^{10} \cdot 1$, изразът става: $\frac{7^{10}}{7^{10}} = 1$

Отговор: В) $1$

Задача 9:

Изразът е: $\frac{9^{13} + (-3)^{25} + (-27)^8}{81^6 - 4 \cdot (-3)^{23}}$

Решение:

1. Преобразуваме числата до общи бази:

   • $9 = 3^2$, значи $9^{13} = (3^2)^{13} = 3^{26}$
   • $81 = 3^4$, значи $81^6 = (3^4)^6 = 3^{24}$
   • $(-27)^8 = ((-3)^3)^8 = (-3)^{24}$

2. Заместваме тези стойности в израза: $\frac{3^{26} + (-3)^{25} + (-3)^{24}}{3^{24} - 4 \cdot (-3)^{23}}$

3. Анализираме числителя:

   • Най-малка степен в числителя е $(-3)^{24}$. Изнасяме $(-3)^{24}$ пред скоби: $(-3)^{24} \left( 3^2 + (-3)^1 + 1 \right) = (-3)^{24} \left( 9 - 3 + 1 \right) = (-3)^{24} \cdot 7$

4. Анализираме знаменателя:

   • Изнасяме $3^{23}$ пред скоби: $3^{23} \left( 3^1 - 4 \cdot (-1) \right) = 3^{23} \left( 3 + 4 \right) = 3^{23} \cdot 7$

5. Сега имаме: $\frac{(-3)^{24} \cdot 7}{3^{23} \cdot 7}$

6. Съкратете числото 7: $\frac{(-3)^{24}}{3^{23}} = (-3)^{24-23} = (-3)^1 = -3$

Отговор: Б) $3$

Имате ли нужда от допълнителни обяснения или въпроси?

Въпроси за размисъл:

1. Как се съкращават степени с еднаква база?
2. Как се изнася общ множител пред скоби в алгебричен израз?
3. Каква е разликата при работа с отрицателни и положителни степени?
4. Кога един степенен израз става равен на 1?
5. Как да избегнем грешки при работа с големи степени и отрицателни числа?

Съвет:

Винаги проверявайте дали може да опростите изрази със степени, за да избегнете изчисления с прекалено големи числа.