Resolvamos cada expresión paso a paso:

1. $3x \cdot 2x^2 \div 3x$

$= \frac{3x \cdot 2x^2}{3x}$ Cancelamos $3x$ en numerador y denominador:
$= 2x^2$

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2. $\frac{10x^2y}{5xy} \cdot 4y$

$= \left(\frac{10x^2y}{5xy} \right) \cdot 4y$ Dividimos términos semejantes:
$= \left(\frac{10}{5} \cdot \frac{x^2}{x} \cdot \frac{y}{y} \right) \cdot 4y$ $= (2x) \cdot 4y$ $= 8xy$

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3. $\frac{2x^2 \cdot 3x^2 \cdot 3x^3}{9x^2}$

Multiplicamos el numerador:
$= \frac{(2 \cdot 3 \cdot 3) x^{2+2+3}}{9x^2}$ $= \frac{18x^7}{9x^2}$ Dividimos:
$= 2x^{7-2}$ $= 2x^5$

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4. $\frac{3xy^3}{4xy^2} \cdot \frac{1}{2x}$

Simplificamos la primera fracción:
$= \frac{3}{4} \cdot \frac{y^3}{y^2} = \frac{3}{4} \cdot y$ Multiplicamos por $\frac{1}{2x}$:
$= \frac{3y}{4} \cdot \frac{1}{2x}$ $= \frac{3y}{8x}$

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5. $\frac{8x^2y^2z^2}{2xy^2z} \cdot \frac{1}{xyz^2}$

Primero resolvemos la primera fracción:
$= \frac{8}{2} \cdot \frac{x^2}{x} \cdot \frac{y^2}{y^2} \cdot \frac{z^2}{z}$ $= 4x \cdot 1 \cdot z$ $= 4xz$ Multiplicamos por $\frac{1}{xyz^2}$:
$= \frac{4xz}{xyz^2}$ Simplificamos:
$= \frac{4}{yz}$

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6. $\frac{5a^2b^2c}{a^3b \cdot 2bc^4}$

Multiplicamos denominador:
$= \frac{5a^2b^2c}{2a^3b^2c^4}$ Dividimos términos semejantes:
$= \frac{5}{2} \cdot \frac{a^2}{a^3} \cdot \frac{b^2}{b^2} \cdot \frac{c}{c^4}$ $= \frac{5}{2} \cdot a^{2-3} \cdot 1 \cdot c^{1-4}$ $= \frac{5}{2} \cdot a^{-1} \cdot c^{-3}$ $= \frac{5}{2a c^3}$

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Respuestas Finales:

1. $2x^2$
2. $8xy$
3. $2x^5$
4. $\frac{3y}{8x}$
5. $\frac{4}{yz}$
6. $\frac{5}{2ac^3}$

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¿Quieres que explique algún paso con más detalle?

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🔎 Tip: Cuando dividas exponentes con la misma base, recuerda la regla: se restan los exponentes.