Vamos a resolver cada uno de los problemas paso a paso.

1. $3x \cdot 2x^2 : 3x$

Primero, resolvamos la multiplicación y la división:

$3x \cdot 2x^2 = 6x^3$

Ahora, dividimos entre $3x$:

$\frac{6x^3}{3x} = 2x^2$

Resultado: $2x^2$

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2. $\frac{10x^2y}{5xy} \cdot 4y$

Primero, simplificamos $\frac{10x^2y}{5xy}$:

$\frac{10x^2y}{5xy} = 2x$

Luego multiplicamos por $4y$:

$2x \cdot 4y = 8xy$

Resultado: $8xy$

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3. $\frac{2x^2 \cdot 3x^2 \cdot 3x^3}{9x^2}$

Multiplicamos el numerador primero:

$2x^2 \cdot 3x^2 \cdot 3x^3 = 18x^7$

Ahora dividimos entre $9x^2$:

$\frac{18x^7}{9x^2} = 2x^5$

Resultado: $2x^5$

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4. $\frac{3xy^3}{4xy^2} \cdot \frac{1}{2x}$

Primero simplificamos $\frac{3xy^3}{4xy^2}$:

$\frac{3xy^3}{4xy^2} = \frac{3y}{4}$

Ahora multiplicamos por $\frac{1}{2x}$:

$\frac{3y}{4} \cdot \frac{1}{2x} = \frac{3y}{8x}$

Resultado: $\frac{3y}{8x}$

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5. $\frac{8x^2y^2z^2}{2xy^2z} \cdot xyz^2$

Primero simplificamos $\frac{8x^2y^2z^2}{2xy^2z}$:

$\frac{8x^2y^2z^2}{2xy^2z} = 4xz$

Ahora multiplicamos por $xyz^2$:

$4xz \cdot xyz^2 = 4x^2y^2z^3$

Resultado: $4x^2y^2z^3$

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6. $\frac{5a^2b^2c}{a^3b} \cdot 2bc^4$

Primero simplificamos $\frac{5a^2b^2c}{a^3b}$:

$\frac{5a^2b^2c}{a^3b} = \frac{5b}{a}$

Ahora multiplicamos por $2bc^4$:

$\frac{5b}{a} \cdot 2bc^4 = \frac{10b^2c^4}{a}$

Resultado: $\frac{10b^2c^4}{a}$

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Resúmenes de los resultados:

1. $2x^2$
2. $8xy$
3. $2x^5$
4. $\frac{3y}{8x}$
5. $4x^2y^2z^3$
6. $\frac{10b^2c^4}{a}$

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¿Te gustaría que explicara algún paso en detalle? Aquí tienes algunas preguntas para seguir practicando:

1. ¿Cómo simplificarías expresiones más complejas de fracciones algebraicas?
2. ¿Qué pasa si los exponentes en una división son negativos?
3. ¿Cómo factorizar una expresión con términos semejantes?
4. ¿Cuál es la propiedad que se aplica cuando multiplicas variables con el mismo exponente?
5. ¿Cómo resolver ecuaciones donde intervienen fracciones algebraicas?

Tip: Siempre que simplifiques expresiones con exponentes, asegúrate de restar los exponentes si estás dividiendo o sumarlos si estás multiplicando, para no cometer errores.